الجبر الخطي الأمثلة

A = [\begin{matrix} 0 & 7 \frac{1}{7} & 0 \end{matrix}]

$A = [\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}]$

خطوة 1

أوجِد القيم الذاتية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن الصيغة لإيجاد المعادلة المميزة

p (λ)

$p (λ)$ .

$p (λ) = محدِّد (A - λ I_{2})$

خطوة 1.2

المصفوفة المتطابقة أو مصفوفة الوحدة ذات الحجم

$2$ هي المصفوفة المربعة

$2 \times 2$ التي تكون فيها جميع العناصر الواقعة على القطر الرئيسي مساوية لواحد بينما تكون جميع عناصرها في أي مكان آخر مساوية لصفر.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 1.3

عوّض بالقيم المعروفة في

$p (λ) = محدِّد (A - λ I_{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة

$A$ التي تساوي

$[\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}] - λ I_{2})$

خطوة 1.3.2

عوّض بقيمة

$I_{2}$ التي تساوي

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

اضرب

$- λ$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1

اضرب

$- 1$ في

$1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.2

اضرب

$- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.2.1

اضرب

$0$ في

$- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.2.2

اضرب

$0$ في

$λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.3

اضرب

$- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.3.1

اضرب

$0$ في

$- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.3.2

اضرب

$0$ في

$λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.4

اضرب

$- 1$ في

$1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

خطوة 1.4.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 0 - λ & 7 + 0 \\ \frac{1}{7} + 0 & 0 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1

اطرح

$λ$ من

$0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} - λ & 7 + 0 \\ \frac{1}{7} + 0 & 0 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.2

أضف

$7$ و

$0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} - λ & 7 \\ \frac{1}{7} + 0 & 0 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.3

أضف

$\frac{1}{7}$ و

$0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} - λ & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.4

اطرح

$λ$ من

$0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} - λ & 7 \\ \frac{1}{7} & - λ \end{array}]$

خطوة 1.5

Find the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة

$2 \times 2$ باستخدام القاعدة

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = - λ (- λ) - \frac{1}{7} \cdot 7$

خطوة 1.5.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - \frac{1}{7} \cdot 7$

خطوة 1.5.2.2

اضرب

$λ$ في

$λ$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.1

انقُل

$λ$ .

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - \frac{1}{7} \cdot 7$

خطوة 1.5.2.2.2

اضرب

$λ$ في

$λ$ .

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ^{2} - \frac{1}{7} \cdot 7$

خطوة 1.5.2.3

اضرب

$- 1$ في

$- 1$ .

$p (λ) = 1 λ^{2} - \frac{1}{7} \cdot 7$

خطوة 1.5.2.4

اضرب

$λ^{2}$ في

$1$ .

$p (λ) = λ^{2} - \frac{1}{7} \cdot 7$

خطوة 1.5.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ

$7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.5.1

انقُل السالب الرئيسي في

$- \frac{1}{7}$ إلى بسط الكسر.

$p (λ) = λ^{2} + \frac{- 1}{7} \cdot 7$

خطوة 1.5.2.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$p (λ) = λ^{2} + \frac{- 1}{7} \cdot 7$

خطوة 1.5.2.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$p (λ) = λ^{2} - 1$

خطوة 1.6

عيّن قيمة متعدد الحدود المميز بحيث تصبح مساوية لـ

$0$ لإيجاد القيم الذاتية

$λ$ .

$λ^{2} - 1 = 0$

خطوة 1.7

أوجِد قيمة

$λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

أضف

$1$ إلى كلا المتعادلين.

$λ^{2} = 1$

خطوة 1.7.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$λ = \pm \sqrt{1}$

خطوة 1.7.3

أي جذر لـ

$1$ هو

$1$ .

$λ = \pm 1$

خطوة 1.7.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ

$\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$λ = 1$

خطوة 1.7.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ

$\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$λ = - 1$

خطوة 1.7.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$λ = 1, - 1$

خطوة 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where

$N$ is the null space and

$I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

خطوة 3

Find the eigenvector using the eigenvalue

$λ = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.

$N ([\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اطرح العناصر المتناظرة.

$[\begin{array}{c} 0 - 1 & 7 - 0 \\ \frac{1}{7} - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.2

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

اطرح

$1$ من

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 7 - 0 \\ \frac{1}{7} - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2

اطرح

$0$ من

$7$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 7 \\ \frac{1}{7} - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.3

اطرح

$0$ من

$\frac{1}{7}$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 - 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.4

اطرح

$1$ من

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 7 \\ \frac{1}{7} & - 1 \end{array}]$

خطوة 3.3

Find the null space when

$λ = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

Write as an augmented matrix for

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 7 & 0 \\ \frac{1}{7} & - 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$- 1$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$- 1$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 1 \cdot 7 & - 0 \\ \frac{1}{7} & - 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.1.2

بسّط

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 7 & 0 \\ \frac{1}{7} & - 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.2

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - \frac{1}{7} R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - \frac{1}{7} R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 7 & 0 \\ \frac{1}{7} - \frac{1}{7} \cdot 1 & - 1 - \frac{1}{7} \cdot - 7 & 0 - \frac{1}{7} \cdot 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.2.2

بسّط

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - 7 y = 0$

$0 = 0$

خطوة 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 7 y \\ y \end{array}]$

خطوة 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 7 \\ 1 \end{array}]$

خطوة 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 7 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

خطوة 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 7 \\ 1 \end{array}]}$

خطوة 4

Find the eigenvector using the eigenvalue

$λ = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.

$N ([\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اجمع العناصر المتناظرة.

$[\begin{array}{c} 0 + 1 & 7 + 0 \\ \frac{1}{7} + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.2

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

أضف

$0$ و

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 7 + 0 \\ \frac{1}{7} + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.2.2

أضف

$7$ و

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 7 \\ \frac{1}{7} + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.2.3

أضف

$\frac{1}{7}$ و

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 + 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.2.4

أضف

$0$ و

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 7 \\ \frac{1}{7} & 1 \end{array}]$

خطوة 4.3

Find the null space when

$λ = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

Write as an augmented matrix for

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 7 & 0 \\ \frac{1}{7} & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - \frac{1}{7} R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - \frac{1}{7} R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 7 & 0 \\ \frac{1}{7} - \frac{1}{7} \cdot 1 & 1 - \frac{1}{7} \cdot 7 & 0 - \frac{1}{7} \cdot 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.1.2

بسّط

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + 7 y = 0$

$0 = 0$

خطوة 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 7 y \\ y \end{array}]$

خطوة 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - 7 \\ 1 \end{array}]$

خطوة 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} - 7 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

خطوة 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 7 \\ 1 \end{array}]}$

خطوة 5

The eigenspace of

$A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 7 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - 7 \\ 1 \end{array}]}$