الجبر الخطي الأمثلة

$[\begin{array}{c} 9 & 9 \\ 7 & 8 \end{array}]$

خطوة 1

عيّن الصيغة لإيجاد المعادلة المميزة

$p (λ)$ .

$p (λ) = محدِّد (A - λ I_{2})$

خطوة 2

المصفوفة المتطابقة أو مصفوفة الوحدة ذات الحجم

$2$ هي المصفوفة المربعة

$2 \times 2$ التي تكون فيها جميع العناصر الواقعة على القطر الرئيسي مساوية لواحد بينما تكون جميع عناصرها في أي مكان آخر مساوية لصفر.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 3

عوّض بالقيم المعروفة في

$p (λ) = محدِّد (A - λ I_{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة

$A$ التي تساوي

$[\begin{array}{c} 9 & 9 \\ 7 & 8 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 9 & 9 \\ 7 & 8 \end{array}] - λ I_{2})$

خطوة 3.2

عوّض بقيمة

$I_{2}$ التي تساوي

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 9 & 9 \\ 7 & 8 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

اضرب

$- λ$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 9 & 9 \\ 7 & 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

اضرب

$- 1$ في

$1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 9 & 9 \\ 7 & 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.2

اضرب

$- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

اضرب

$0$ في

$- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 9 & 9 \\ 7 & 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.2.2

اضرب

$0$ في

$λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 9 & 9 \\ 7 & 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.3

اضرب

$- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.3.1

اضرب

$0$ في

$- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 9 & 9 \\ 7 & 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.3.2

اضرب

$0$ في

$λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 9 & 9 \\ 7 & 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.4

اضرب

$- 1$ في

$1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 9 & 9 \\ 7 & 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

خطوة 4.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 9 - λ & 9 + 0 \\ 7 + 0 & 8 - λ \end{array}]$

خطوة 4.3

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أضف

$9$ و

$0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 9 - λ & 9 \\ 7 + 0 & 8 - λ \end{array}]$

خطوة 4.3.2

أضف

$7$ و

$0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 9 - λ & 9 \\ 7 & 8 - λ \end{array}]$

خطوة 5

Find the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة

$2 \times 2$ باستخدام القاعدة

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (9 - λ) (8 - λ) - 7 \cdot 9$

خطوة 5.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

وسّع

$(9 - λ) (8 - λ)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 9 (8 - λ) - λ (8 - λ) - 7 \cdot 9$

خطوة 5.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 9 \cdot 8 + 9 (- λ) - λ (8 - λ) - 7 \cdot 9$

خطوة 5.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 9 \cdot 8 + 9 (- λ) - λ \cdot 8 - λ (- λ) - 7 \cdot 9$

خطوة 5.2.1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.2.1.1

اضرب

$9$ في

$8$ .

$p (λ) = 72 + 9 (- λ) - λ \cdot 8 - λ (- λ) - 7 \cdot 9$

خطوة 5.2.1.2.1.2

اضرب

$- 1$ في

$9$ .

$p (λ) = 72 - 9 λ - λ \cdot 8 - λ (- λ) - 7 \cdot 9$

خطوة 5.2.1.2.1.3

اضرب

$8$ في

$- 1$ .

$p (λ) = 72 - 9 λ - 8 λ - λ (- λ) - 7 \cdot 9$

خطوة 5.2.1.2.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = 72 - 9 λ - 8 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 7 \cdot 9$

خطوة 5.2.1.2.1.5

اضرب

$λ$ في

$λ$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.2.1.5.1

انقُل

$λ$ .

$p (λ) = 72 - 9 λ - 8 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 7 \cdot 9$

خطوة 5.2.1.2.1.5.2

اضرب

$λ$ في

$λ$ .

$p (λ) = 72 - 9 λ - 8 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 7 \cdot 9$

خطوة 5.2.1.2.1.6

اضرب

$- 1$ في

$- 1$ .

$p (λ) = 72 - 9 λ - 8 λ + 1 λ^{2} - 7 \cdot 9$

خطوة 5.2.1.2.1.7

اضرب

$λ^{2}$ في

$1$ .

$p (λ) = 72 - 9 λ - 8 λ + λ^{2} - 7 \cdot 9$

خطوة 5.2.1.2.2

اطرح

$8 λ$ من

$- 9 λ$ .

$p (λ) = 72 - 17 λ + λ^{2} - 7 \cdot 9$

خطوة 5.2.1.3

اضرب

$- 7$ في

$9$ .

$p (λ) = 72 - 17 λ + λ^{2} - 63$

خطوة 5.2.2

اطرح

$63$ من

$72$ .

$p (λ) = - 17 λ + λ^{2} + 9$

خطوة 5.2.3

أعِد ترتيب

$- 17 λ$ و

$λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 17 λ + 9$