الجبر الخطي الأمثلة

$[\begin{array}{c} 23 & - 5 \\ 65 & - 7 \end{array}]$

خطوة 1

عيّن الصيغة لإيجاد المعادلة المميزة $p (λ)$ .

$p (λ) = محدِّد (A - λ I_{2})$

خطوة 2

المصفوفة المتطابقة أو مصفوفة الوحدة ذات الحجم $2$ هي المصفوفة المربعة $2 \times 2$ التي تكون فيها جميع العناصر الواقعة على القطر الرئيسي مساوية لواحد بينما تكون جميع عناصرها في أي مكان آخر مساوية لصفر.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 3

عوّض بالقيم المعروفة في $p (λ) = محدِّد (A - λ I_{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $A$ التي تساوي $[\begin{array}{c} 23 & - 5 \\ 65 & - 7 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 23 & - 5 \\ 65 & - 7 \end{array}] - λ I_{2})$

خطوة 3.2

عوّض بقيمة $I_{2}$ التي تساوي $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 23 & - 5 \\ 65 & - 7 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

اضرب $- λ$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 23 & - 5 \\ 65 & - 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 23 & - 5 \\ 65 & - 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.2

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 23 & - 5 \\ 65 & - 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.2.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 23 & - 5 \\ 65 & - 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.3

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.3.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 23 & - 5 \\ 65 & - 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.3.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 23 & - 5 \\ 65 & - 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 23 & - 5 \\ 65 & - 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

خطوة 4.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 23 - λ & - 5 + 0 \\ 65 + 0 & - 7 - λ \end{array}]$

خطوة 4.3

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أضف $- 5$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 23 - λ & - 5 \\ 65 + 0 & - 7 - λ \end{array}]$

خطوة 4.3.2

أضف $65$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 23 - λ & - 5 \\ 65 & - 7 - λ \end{array}]$

خطوة 5

Find the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (23 - λ) (- 7 - λ) - 65 \cdot - 5$

خطوة 5.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

وسّع $(23 - λ) (- 7 - λ)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 23 (- 7 - λ) - λ (- 7 - λ) - 65 \cdot - 5$

خطوة 5.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 23 \cdot - 7 + 23 (- λ) - λ (- 7 - λ) - 65 \cdot - 5$

خطوة 5.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 23 \cdot - 7 + 23 (- λ) - λ \cdot - 7 - λ (- λ) - 65 \cdot - 5$

خطوة 5.2.1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.2.1.1

اضرب $23$ في $- 7$ .

$p (λ) = - 161 + 23 (- λ) - λ \cdot - 7 - λ (- λ) - 65 \cdot - 5$

خطوة 5.2.1.2.1.2

اضرب $- 1$ في $23$ .

$p (λ) = - 161 - 23 λ - λ \cdot - 7 - λ (- λ) - 65 \cdot - 5$

خطوة 5.2.1.2.1.3

اضرب $- 7$ في $- 1$ .

$p (λ) = - 161 - 23 λ + 7 λ - λ (- λ) - 65 \cdot - 5$

خطوة 5.2.1.2.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = - 161 - 23 λ + 7 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 65 \cdot - 5$

خطوة 5.2.1.2.1.5

اضرب $λ$ في $λ$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.2.1.5.1

انقُل $λ$ .

$p (λ) = - 161 - 23 λ + 7 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 65 \cdot - 5$

خطوة 5.2.1.2.1.5.2

اضرب $λ$ في $λ$ .

$p (λ) = - 161 - 23 λ + 7 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 65 \cdot - 5$

خطوة 5.2.1.2.1.6

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$p (λ) = - 161 - 23 λ + 7 λ + 1 λ^{2} - 65 \cdot - 5$

خطوة 5.2.1.2.1.7

اضرب $λ^{2}$ في $1$ .

$p (λ) = - 161 - 23 λ + 7 λ + λ^{2} - 65 \cdot - 5$

خطوة 5.2.1.2.2

أضف $- 23 λ$ و $7 λ$ .

$p (λ) = - 161 - 16 λ + λ^{2} - 65 \cdot - 5$

خطوة 5.2.1.3

اضرب $- 65$ في $- 5$ .

$p (λ) = - 161 - 16 λ + λ^{2} + 325$

خطوة 5.2.2

أضف $- 161$ و $325$ .

$p (λ) = - 16 λ + λ^{2} + 164$

خطوة 5.2.3

أعِد ترتيب $- 16 λ$ و $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 16 λ + 164$

خطوة 6

عيّن قيمة متعدد الحدود المميز بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد القيم الذاتية $λ$ .

$λ^{2} - 16 λ + 164 = 0$

خطوة 7

أوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 7.2

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = - 16$ و $c = 164$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $λ$ .

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 164)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1

ارفع $- 16$ إلى القوة $2$ .

$λ = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot 164}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 164$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$λ = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 164}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.2.2

اضرب $- 4$ في $164$ .

$λ = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 656}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.3

اطرح $656$ من $256$ .

$λ = \frac{16 \pm \sqrt{- 400}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.4

أعِد كتابة $- 400$ بالصيغة $- 1 (400)$ .

$λ = \frac{16 \pm \sqrt{- 1 \cdot 400}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (400)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{400}$ .

$λ = \frac{16 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{400}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$λ = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{400}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.7

أعِد كتابة $400$ بالصيغة $20^{2}$ .

$λ = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{20^{2}}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$λ = \frac{16 \pm i \cdot 20}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.9

انقُل $20$ إلى يسار $i$ .

$λ = \frac{16 \pm 20 i}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.2

اضرب $2$ في $1$ .

$λ = \frac{16 \pm 20 i}{2}$

خطوة 7.3.3

بسّط $\frac{16 \pm 20 i}{2}$ .

$λ = 8 \pm 10 i$

خطوة 7.4

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$λ = 8 + 10 i, 8 - 10 i$