الجبر الخطي الأمثلة

$[\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}]$

خطوة 1

عيّن الصيغة لإيجاد المعادلة المميزة $p (λ)$ .

$p (λ) = محدِّد (A - λ I_{4})$

خطوة 2

المصفوفة المتطابقة أو مصفوفة الوحدة ذات الحجم $4$ هي المصفوفة المربعة $4 \times 4$ التي تكون فيها جميع العناصر الواقعة على القطر الرئيسي مساوية لواحد بينما تكون جميع عناصرها في أي مكان آخر مساوية لصفر.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 3

عوّض بالقيم المعروفة في $p (λ) = محدِّد (A - λ I_{4})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $A$ التي تساوي $[\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}] - λ I_{4})$

خطوة 3.2

عوّض بقيمة $I_{4}$ التي تساوي $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

اضرب $- λ$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.2

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.2.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.3

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.3.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.3.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.4

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.4.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.4.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.5

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.5.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.5.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.7

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.7.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.7.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.8

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.8.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.8.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.9

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.9.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.9.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.10

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.10.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.10.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.11

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.12

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.12.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.12.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.13

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.13.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.13.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.14

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.14.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.14.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.15

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.15.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.15.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.16

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

خطوة 4.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 5 - λ & - 3 + 0 & 0 + 0 & 2 + 0 \\ 0 + 0 & 2 - λ & 4 + 0 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ & 3 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

خطوة 4.3

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أضف $- 3$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 5 - λ & - 3 & 0 + 0 & 2 + 0 \\ 0 + 0 & 2 - λ & 4 + 0 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ & 3 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

خطوة 4.3.2

أضف $0$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 5 - λ & - 3 & 0 & 2 + 0 \\ 0 + 0 & 2 - λ & 4 + 0 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ & 3 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

خطوة 4.3.3

أضف $2$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 5 - λ & - 3 & 0 & 2 \\ 0 + 0 & 2 - λ & 4 + 0 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ & 3 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

خطوة 4.3.4

أضف $0$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 5 - λ & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 - λ & 4 + 0 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ & 3 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

خطوة 4.3.5

أضف $4$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 5 - λ & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 - λ & 4 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ & 3 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

خطوة 4.3.6

أضف $- 1$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 5 - λ & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 - λ & 4 & - 1 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ & 3 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

خطوة 4.3.7

أضف $0$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 5 - λ & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 - λ & 4 & - 1 \\ 0 & 0 + 0 & 2 - λ & 3 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

خطوة 4.3.8

أضف $0$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 5 - λ & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 - λ & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ & 3 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

خطوة 4.3.9

أضف $3$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 5 - λ & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 - λ & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ & 3 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

خطوة 4.3.10

أضف $0$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 5 - λ & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 - λ & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ & 3 \\ 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

خطوة 4.3.11

أضف $0$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 5 - λ & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 - λ & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 0 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

خطوة 4.3.12

أضف $0$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 5 - λ & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 - λ & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 - λ \end{array}]$

خطوة 5

Find the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

خطوة 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

خطوة 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 - λ & 4 & - 1 \\ 0 & 2 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 5 - λ \end{array} |$

خطوة 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(5 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 4 & - 1 \\ 0 & 2 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 5 - λ \end{array} |$

خطوة 5.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 5 - λ \end{array} |$

خطوة 5.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 5 - λ \end{array} |$

خطوة 5.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 0 & 2 \\ 2 - λ & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 5 - λ \end{array} |$

خطوة 5.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 3 & 0 & 2 \\ 2 - λ & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 5 - λ \end{array} |$

خطوة 5.1.9

The minor for $a_{41}$ is the determinant with row $4$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 0 & 2 \\ 2 - λ & 4 & - 1 \\ 0 & 2 - λ & 3 \end{array} |$

خطوة 5.1.10

Multiply element $a_{41}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 3 & 0 & 2 \\ 2 - λ & 4 & - 1 \\ 0 & 2 - λ & 3 \end{array} |$

خطوة 5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = (5 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 4 & - 1 \\ 0 & 2 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 5 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 5 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 3 & 0 & 2 \\ 2 - λ & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 5 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 3 & 0 & 2 \\ 2 - λ & 4 & - 1 \\ 0 & 2 - λ & 3 \end{array} |$

خطوة 5.2

اضرب $0$ في $| \begin{array}{c} - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 5 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (5 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 4 & - 1 \\ 0 & 2 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 5 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} - 3 & 0 & 2 \\ 2 - λ & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 5 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 3 & 0 & 2 \\ 2 - λ & 4 & - 1 \\ 0 & 2 - λ & 3 \end{array} |$

خطوة 5.3

اضرب $0$ في $| \begin{array}{c} - 3 & 0 & 2 \\ 2 - λ & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 5 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (5 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 4 & - 1 \\ 0 & 2 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 5 - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0 | \begin{array}{c} - 3 & 0 & 2 \\ 2 - λ & 4 & - 1 \\ 0 & 2 - λ & 3 \end{array} |$

خطوة 5.4

اضرب $0$ في $| \begin{array}{c} - 3 & 0 & 2 \\ 2 - λ & 4 & - 1 \\ 0 & 2 - λ & 3 \end{array} |$ .

$p (λ) = (5 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 4 & - 1 \\ 0 & 2 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 5 - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0$

خطوة 5.5

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} 2 - λ & 4 & - 1 \\ 0 & 2 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 5 - λ \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

خطوة 5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

خطوة 5.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 - λ & 3 \\ 0 & 5 - λ \end{array} |$

خطوة 5.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(2 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 3 \\ 0 & 5 - λ \end{array} |$

خطوة 5.5.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 0 & 5 - λ \end{array} |$

خطوة 5.5.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 0 & 5 - λ \end{array} |$

خطوة 5.5.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 2 - λ & 3 \end{array} |$

خطوة 5.5.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 2 - λ & 3 \end{array} |$

خطوة 5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (5 - λ) ((2 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 3 \\ 0 & 5 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 0 & 5 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 2 - λ & 3 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

خطوة 5.5.2

اضرب $0$ في $| \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 0 & 5 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (5 - λ) ((2 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 3 \\ 0 & 5 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 2 - λ & 3 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

خطوة 5.5.3

اضرب $0$ في $| \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 2 - λ & 3 \end{array} |$ .

$p (λ) = (5 - λ) ((2 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 3 \\ 0 & 5 - λ \end{array} | + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

خطوة 5.5.4

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} 2 - λ & 3 \\ 0 & 5 - λ \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (5 - λ) ((2 - λ) ((2 - λ) (5 - λ) + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

خطوة 5.5.4.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.2.1.1

وسّع $(2 - λ) (5 - λ)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = (5 - λ) ((2 - λ) (2 (5 - λ) - λ (5 - λ) + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

خطوة 5.5.4.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = (5 - λ) ((2 - λ) (2 \cdot 5 + 2 (- λ) - λ (5 - λ) + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

خطوة 5.5.4.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = (5 - λ) ((2 - λ) (2 \cdot 5 + 2 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

خطوة 5.5.4.2.1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.2.1.2.1.1

اضرب $2$ في $5$ .

$p (λ) = (5 - λ) ((2 - λ) (10 + 2 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

خطوة 5.5.4.2.1.2.1.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$p (λ) = (5 - λ) ((2 - λ) (10 - 2 λ - λ \cdot 5 - λ (- λ) + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

خطوة 5.5.4.2.1.2.1.3

اضرب $5$ في $- 1$ .

$p (λ) = (5 - λ) ((2 - λ) (10 - 2 λ - 5 λ - λ (- λ) + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

خطوة 5.5.4.2.1.2.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = (5 - λ) ((2 - λ) (10 - 2 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

خطوة 5.5.4.2.1.2.1.5

اضرب $λ$ في $λ$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.2.1.2.1.5.1

انقُل $λ$ .

$p (λ) = (5 - λ) ((2 - λ) (10 - 2 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

خطوة 5.5.4.2.1.2.1.5.2

اضرب $λ$ في $λ$ .

$p (λ) = (5 - λ) ((2 - λ) (10 - 2 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

خطوة 5.5.4.2.1.2.1.6

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$p (λ) = (5 - λ) ((2 - λ) (10 - 2 λ - 5 λ + 1 λ^{2} + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

خطوة 5.5.4.2.1.2.1.7

اضرب $λ^{2}$ في $1$ .

$p (λ) = (5 - λ) ((2 - λ) (10 - 2 λ - 5 λ + λ^{2} + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

خطوة 5.5.4.2.1.2.2

اطرح $5 λ$ من $- 2 λ$ .

$p (λ) = (5 - λ) ((2 - λ) (10 - 7 λ + λ^{2} + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

خطوة 5.5.4.2.1.3

اضرب $0$ في $3$ .

$p (λ) = (5 - λ) ((2 - λ) (10 - 7 λ + λ^{2} + 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

خطوة 5.5.4.2.2

أضف $10 - 7 λ + λ^{2}$ و $0$ .

$p (λ) = (5 - λ) ((2 - λ) (10 - 7 λ + λ^{2}) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

خطوة 5.5.4.2.3

انقُل $10$ .

$p (λ) = (5 - λ) ((2 - λ) (- 7 λ + λ^{2} + 10) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

خطوة 5.5.4.2.4

أعِد ترتيب $- 7 λ$ و $λ^{2}$ .

$p (λ) = (5 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 7 λ + 10) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

خطوة 5.5.5

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.5.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $(2 - λ) (λ^{2} - 7 λ + 10) + 0 + 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.5.1.1

أضف $(2 - λ) (λ^{2} - 7 λ + 10)$ و $0$ .

$p (λ) = (5 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 7 λ + 10) + 0) + 0 + 0 + 0$

خطوة 5.5.5.1.2

أضف $(2 - λ) (λ^{2} - 7 λ + 10)$ و $0$ .

$p (λ) = (5 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 7 λ + 10)) + 0 + 0 + 0$

خطوة 5.5.5.2

وسّع $(2 - λ) (λ^{2} - 7 λ + 10)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$p (λ) = (5 - λ) (2 λ^{2} + 2 (- 7 λ) + 2 \cdot 10 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 7 λ) - λ \cdot 10) + 0 + 0 + 0$

خطوة 5.5.5.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.5.3.1

اضرب $- 7$ في $2$ .

$p (λ) = (5 - λ) (2 λ^{2} - 14 λ + 2 \cdot 10 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 7 λ) - λ \cdot 10) + 0 + 0 + 0$

خطوة 5.5.5.3.2

اضرب $2$ في $10$ .

$p (λ) = (5 - λ) (2 λ^{2} - 14 λ + 20 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 7 λ) - λ \cdot 10) + 0 + 0 + 0$

خطوة 5.5.5.3.3

اضرب $λ$ في $λ^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.5.3.3.1

انقُل $λ^{2}$ .

$p (λ) = (5 - λ) (2 λ^{2} - 14 λ + 20 - (λ^{2} λ) - λ (- 7 λ) - λ \cdot 10) + 0 + 0 + 0$

خطوة 5.5.5.3.3.2

اضرب $λ^{2}$ في $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.5.3.3.2.1

ارفع $λ$ إلى القوة $1$ .

$p (λ) = (5 - λ) (2 λ^{2} - 14 λ + 20 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 7 λ) - λ \cdot 10) + 0 + 0 + 0$

خطوة 5.5.5.3.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$p (λ) = (5 - λ) (2 λ^{2} - 14 λ + 20 - λ^{2 + 1} - λ (- 7 λ) - λ \cdot 10) + 0 + 0 + 0$

خطوة 5.5.5.3.3.3

أضف $2$ و $1$ .

$p (λ) = (5 - λ) (2 λ^{2} - 14 λ + 20 - λ^{3} - λ (- 7 λ) - λ \cdot 10) + 0 + 0 + 0$

خطوة 5.5.5.3.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = (5 - λ) (2 λ^{2} - 14 λ + 20 - λ^{3} - 1 \cdot - 7 λ \cdot λ - λ \cdot 10) + 0 + 0 + 0$

خطوة 5.5.5.3.5

اضرب $λ$ في $λ$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.5.3.5.1

انقُل $λ$ .

$p (λ) = (5 - λ) (2 λ^{2} - 14 λ + 20 - λ^{3} - 1 \cdot - 7 (λ \cdot λ) - λ \cdot 10) + 0 + 0 + 0$

خطوة 5.5.5.3.5.2

اضرب $λ$ في $λ$ .

$p (λ) = (5 - λ) (2 λ^{2} - 14 λ + 20 - λ^{3} - 1 \cdot - 7 λ^{2} - λ \cdot 10) + 0 + 0 + 0$

خطوة 5.5.5.3.6

اضرب $- 1$ في $- 7$ .

$p (λ) = (5 - λ) (2 λ^{2} - 14 λ + 20 - λ^{3} + 7 λ^{2} - λ \cdot 10) + 0 + 0 + 0$

خطوة 5.5.5.3.7

اضرب $10$ في $- 1$ .

$p (λ) = (5 - λ) (2 λ^{2} - 14 λ + 20 - λ^{3} + 7 λ^{2} - 10 λ) + 0 + 0 + 0$

خطوة 5.5.5.4

أضف $2 λ^{2}$ و $7 λ^{2}$ .

$p (λ) = (5 - λ) (9 λ^{2} - 14 λ + 20 - λ^{3} - 10 λ) + 0 + 0 + 0$

خطوة 5.5.5.5

اطرح $10 λ$ من $- 14 λ$ .

$p (λ) = (5 - λ) (9 λ^{2} - 24 λ + 20 - λ^{3}) + 0 + 0 + 0$

خطوة 5.5.5.6

انقُل $20$ .

$p (λ) = (5 - λ) (9 λ^{2} - 24 λ - λ^{3} + 20) + 0 + 0 + 0$

خطوة 5.5.5.7

انقُل $- 24 λ$ .

$p (λ) = (5 - λ) (9 λ^{2} - λ^{3} - 24 λ + 20) + 0 + 0 + 0$

خطوة 5.5.5.8

أعِد ترتيب $9 λ^{2}$ و $- λ^{3}$ .

$p (λ) = (5 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 20) + 0 + 0 + 0$

خطوة 5.6

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $(5 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 20) + 0 + 0 + 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1.1

أضف $(5 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 20)$ و $0$ .

$p (λ) = (5 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 20) + 0 + 0$

خطوة 5.6.1.2

أضف $(5 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 20)$ و $0$ .

$p (λ) = (5 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 20) + 0$

خطوة 5.6.1.3

أضف $(5 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 20)$ و $0$ .

$p (λ) = (5 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 20)$

خطوة 5.6.2

وسّع $(5 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 20)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$p (λ) = 5 (- λ^{3}) + 5 (9 λ^{2}) + 5 (- 24 λ) + 5 \cdot 20 - λ (- λ^{3}) - λ (9 λ^{2}) - λ (- 24 λ) - λ \cdot 20$

خطوة 5.6.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.3.1

اضرب $- 1$ في $5$ .

$p (λ) = - 5 λ^{3} + 5 (9 λ^{2}) + 5 (- 24 λ) + 5 \cdot 20 - λ (- λ^{3}) - λ (9 λ^{2}) - λ (- 24 λ) - λ \cdot 20$

خطوة 5.6.3.2

اضرب $9$ في $5$ .

$p (λ) = - 5 λ^{3} + 45 λ^{2} + 5 (- 24 λ) + 5 \cdot 20 - λ (- λ^{3}) - λ (9 λ^{2}) - λ (- 24 λ) - λ \cdot 20$

خطوة 5.6.3.3

اضرب $- 24$ في $5$ .

$p (λ) = - 5 λ^{3} + 45 λ^{2} - 120 λ + 5 \cdot 20 - λ (- λ^{3}) - λ (9 λ^{2}) - λ (- 24 λ) - λ \cdot 20$

خطوة 5.6.3.4

اضرب $5$ في $20$ .

$p (λ) = - 5 λ^{3} + 45 λ^{2} - 120 λ + 100 - λ (- λ^{3}) - λ (9 λ^{2}) - λ (- 24 λ) - λ \cdot 20$

خطوة 5.6.3.5

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = - 5 λ^{3} + 45 λ^{2} - 120 λ + 100 - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (9 λ^{2}) - λ (- 24 λ) - λ \cdot 20$

خطوة 5.6.3.6

اضرب $λ$ في $λ^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.3.6.1

انقُل $λ^{3}$ .

$p (λ) = - 5 λ^{3} + 45 λ^{2} - 120 λ + 100 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ (9 λ^{2}) - λ (- 24 λ) - λ \cdot 20$

خطوة 5.6.3.6.2

اضرب $λ^{3}$ في $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.3.6.2.1

ارفع $λ$ إلى القوة $1$ .

$p (λ) = - 5 λ^{3} + 45 λ^{2} - 120 λ + 100 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ (9 λ^{2}) - λ (- 24 λ) - λ \cdot 20$

خطوة 5.6.3.6.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$p (λ) = - 5 λ^{3} + 45 λ^{2} - 120 λ + 100 - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ (9 λ^{2}) - λ (- 24 λ) - λ \cdot 20$

خطوة 5.6.3.6.3

أضف $3$ و $1$ .

$p (λ) = - 5 λ^{3} + 45 λ^{2} - 120 λ + 100 - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ (9 λ^{2}) - λ (- 24 λ) - λ \cdot 20$

خطوة 5.6.3.7

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$p (λ) = - 5 λ^{3} + 45 λ^{2} - 120 λ + 100 + 1 λ^{4} - λ (9 λ^{2}) - λ (- 24 λ) - λ \cdot 20$

خطوة 5.6.3.8

اضرب $λ^{4}$ في $1$ .

$p (λ) = - 5 λ^{3} + 45 λ^{2} - 120 λ + 100 + λ^{4} - λ (9 λ^{2}) - λ (- 24 λ) - λ \cdot 20$

خطوة 5.6.3.9

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = - 5 λ^{3} + 45 λ^{2} - 120 λ + 100 + λ^{4} - 1 \cdot 9 λ \cdot λ^{2} - λ (- 24 λ) - λ \cdot 20$

خطوة 5.6.3.10

اضرب $λ$ في $λ^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.3.10.1

انقُل $λ^{2}$ .

$p (λ) = - 5 λ^{3} + 45 λ^{2} - 120 λ + 100 + λ^{4} - 1 \cdot 9 (λ^{2} λ) - λ (- 24 λ) - λ \cdot 20$

خطوة 5.6.3.10.2

اضرب $λ^{2}$ في $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.3.10.2.1

ارفع $λ$ إلى القوة $1$ .

$p (λ) = - 5 λ^{3} + 45 λ^{2} - 120 λ + 100 + λ^{4} - 1 \cdot 9 (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 24 λ) - λ \cdot 20$

خطوة 5.6.3.10.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$p (λ) = - 5 λ^{3} + 45 λ^{2} - 120 λ + 100 + λ^{4} - 1 \cdot 9 λ^{2 + 1} - λ (- 24 λ) - λ \cdot 20$

خطوة 5.6.3.10.3

أضف $2$ و $1$ .

$p (λ) = - 5 λ^{3} + 45 λ^{2} - 120 λ + 100 + λ^{4} - 1 \cdot 9 λ^{3} - λ (- 24 λ) - λ \cdot 20$

خطوة 5.6.3.11

اضرب $- 1$ في $9$ .

$p (λ) = - 5 λ^{3} + 45 λ^{2} - 120 λ + 100 + λ^{4} - 9 λ^{3} - λ (- 24 λ) - λ \cdot 20$

خطوة 5.6.3.12

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = - 5 λ^{3} + 45 λ^{2} - 120 λ + 100 + λ^{4} - 9 λ^{3} - 1 \cdot - 24 λ \cdot λ - λ \cdot 20$

خطوة 5.6.3.13

اضرب $λ$ في $λ$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.3.13.1

انقُل $λ$ .

$p (λ) = - 5 λ^{3} + 45 λ^{2} - 120 λ + 100 + λ^{4} - 9 λ^{3} - 1 \cdot - 24 (λ \cdot λ) - λ \cdot 20$

خطوة 5.6.3.13.2

اضرب $λ$ في $λ$ .

$p (λ) = - 5 λ^{3} + 45 λ^{2} - 120 λ + 100 + λ^{4} - 9 λ^{3} - 1 \cdot - 24 λ^{2} - λ \cdot 20$

خطوة 5.6.3.14

اضرب $- 1$ في $- 24$ .

$p (λ) = - 5 λ^{3} + 45 λ^{2} - 120 λ + 100 + λ^{4} - 9 λ^{3} + 24 λ^{2} - λ \cdot 20$

خطوة 5.6.3.15

اضرب $20$ في $- 1$ .

$p (λ) = - 5 λ^{3} + 45 λ^{2} - 120 λ + 100 + λ^{4} - 9 λ^{3} + 24 λ^{2} - 20 λ$

خطوة 5.6.4

اطرح $9 λ^{3}$ من $- 5 λ^{3}$ .

$p (λ) = - 14 λ^{3} + 45 λ^{2} - 120 λ + 100 + λ^{4} + 24 λ^{2} - 20 λ$

خطوة 5.6.5

أضف $45 λ^{2}$ و $24 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 14 λ^{3} + 69 λ^{2} - 120 λ + 100 + λ^{4} - 20 λ$

خطوة 5.6.6

اطرح $20 λ$ من $- 120 λ$ .

$p (λ) = - 14 λ^{3} + 69 λ^{2} - 140 λ + 100 + λ^{4}$

خطوة 5.6.7

انقُل $100$ .

$p (λ) = - 14 λ^{3} + 69 λ^{2} - 140 λ + λ^{4} + 100$

خطوة 5.6.8

انقُل $- 140 λ$ .

$p (λ) = - 14 λ^{3} + 69 λ^{2} + λ^{4} - 140 λ + 100$

خطوة 5.6.9

انقُل $69 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 14 λ^{3} + λ^{4} + 69 λ^{2} - 140 λ + 100$

خطوة 5.6.10

أعِد ترتيب $- 14 λ^{3}$ و $λ^{4}$ .

$p (λ) = λ^{4} - 14 λ^{3} + 69 λ^{2} - 140 λ + 100$

خطوة 6

عيّن قيمة متعدد الحدود المميز بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد القيم الذاتية $λ$ .

$λ^{4} - 14 λ^{3} + 69 λ^{2} - 140 λ + 100 = 0$

خطوة 7

أوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

حلّل $λ^{4} - 14 λ^{3} + 69 λ^{2} - 140 λ + 100$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 100, \pm 2, \pm 50, \pm 4, \pm 25, \pm 5, \pm 20, \pm 10$

$q = \pm 1$

خطوة 7.1.1.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 100, \pm 2, \pm 50, \pm 4, \pm 25, \pm 5, \pm 20, \pm 10$

خطوة 7.1.1.3

عوّض بـ $2$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $2$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.3.1

عوّض بـ $2$ في متعدد الحدود.

$2^{4} - 14 \cdot 2^{3} + 69 \cdot 2^{2} - 140 \cdot 2 + 100$

خطوة 7.1.1.3.2

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$16 - 14 \cdot 2^{3} + 69 \cdot 2^{2} - 140 \cdot 2 + 100$

خطوة 7.1.1.3.3

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$16 - 14 \cdot 8 + 69 \cdot 2^{2} - 140 \cdot 2 + 100$

خطوة 7.1.1.3.4

اضرب $- 14$ في $8$ .

$16 - 112 + 69 \cdot 2^{2} - 140 \cdot 2 + 100$

خطوة 7.1.1.3.5

اطرح $112$ من $16$ .

$- 96 + 69 \cdot 2^{2} - 140 \cdot 2 + 100$

خطوة 7.1.1.3.6

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$- 96 + 69 \cdot 4 - 140 \cdot 2 + 100$

خطوة 7.1.1.3.7

اضرب $69$ في $4$ .

$- 96 + 276 - 140 \cdot 2 + 100$

خطوة 7.1.1.3.8

أضف $- 96$ و $276$ .

$180 - 140 \cdot 2 + 100$

خطوة 7.1.1.3.9

اضرب $- 140$ في $2$ .

$180 - 280 + 100$

خطوة 7.1.1.3.10

اطرح $280$ من $180$ .

$- 100 + 100$

خطوة 7.1.1.3.11

أضف $- 100$ و $100$ .

$0$

خطوة 7.1.1.4

بما أن $2$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $λ - 2$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{λ^{4} - 14 λ^{3} + 69 λ^{2} - 140 λ + 100}{λ - 2}$

خطوة 7.1.1.5

اقسِم $λ^{4} - 14 λ^{3} + 69 λ^{2} - 140 λ + 100$ على $λ - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$140 λ$

$100$

خطوة 7.1.1.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $λ^{4}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $λ$ .

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$140 λ$

$100$

خطوة 7.1.1.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$140 λ$

$100$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

خطوة 7.1.1.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $λ^{4} - 2 λ^{3}$

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$140 λ$

$100$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

خطوة 7.1.1.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$140 λ$

$100$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

خطوة 7.1.1.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$140 λ$

$100$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

خطوة 7.1.1.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 12 λ^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $λ$ .

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$140 λ$

$100$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

خطوة 7.1.1.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$140 λ$

$100$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

خطوة 7.1.1.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 12 λ^{3} + 24 λ^{2}$

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$140 λ$

$100$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

خطوة 7.1.1.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$140 λ$

$100$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

خطوة 7.1.1.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$140 λ$

$100$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

$140 λ$

خطوة 7.1.1.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $45 λ^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $λ$ .

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$45 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$140 λ$

$100$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

$140 λ$

خطوة 7.1.1.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$45 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$140 λ$

$100$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

$140 λ$

$45 λ^{2}$

$90 λ$

خطوة 7.1.1.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $45 λ^{2} - 90 λ$

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$45 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$140 λ$

$100$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

$140 λ$

$45 λ^{2}$

$90 λ$

خطوة 7.1.1.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$45 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$140 λ$

$100$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

$140 λ$

$45 λ^{2}$

$90 λ$

$50 λ$

خطوة 7.1.1.5.16

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$45 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$140 λ$

$100$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

$140 λ$

$45 λ^{2}$

$90 λ$

$50 λ$

$100$

خطوة 7.1.1.5.17

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 50 λ$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $λ$ .

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$45 λ$

$50$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$140 λ$

$100$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

$140 λ$

$45 λ^{2}$

$90 λ$

$50 λ$

$100$

خطوة 7.1.1.5.18

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$45 λ$

$50$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$140 λ$

$100$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

$140 λ$

$45 λ^{2}$

$90 λ$

$50 λ$

$100$

$50 λ$

$100$

خطوة 7.1.1.5.19

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 50 λ + 100$

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$45 λ$

$50$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$140 λ$

$100$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

$140 λ$

$45 λ^{2}$

$90 λ$

$50 λ$

$100$

$50 λ$

$100$

خطوة 7.1.1.5.20

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$45 λ$

$50$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$140 λ$

$100$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

$140 λ$

$45 λ^{2}$

$90 λ$

$50 λ$

$100$

$50 λ$

$100$

$0$

خطوة 7.1.1.5.21

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$λ^{3} - 12 λ^{2} + 45 λ - 50$

خطوة 7.1.1.6

اكتب $λ^{4} - 14 λ^{3} + 69 λ^{2} - 140 λ + 100$ في صورة مجموعة من العوامل.

$(λ - 2) (λ^{3} - 12 λ^{2} + 45 λ - 50) = 0$

خطوة 7.1.2

حلّل $λ^{3} - 12 λ^{2} + 45 λ - 50$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.1

$p = \pm 1, \pm 50, \pm 2, \pm 25, \pm 5, \pm 10$

$q = \pm 1$

خطوة 7.1.2.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 50, \pm 2, \pm 25, \pm 5, \pm 10$

خطوة 7.1.2.3

عوّض بـ $2$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $2$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.3.1

عوّض بـ $2$ في متعدد الحدود.

$2^{3} - 12 \cdot 2^{2} + 45 \cdot 2 - 50$

خطوة 7.1.2.3.2

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$8 - 12 \cdot 2^{2} + 45 \cdot 2 - 50$

خطوة 7.1.2.3.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$8 - 12 \cdot 4 + 45 \cdot 2 - 50$

خطوة 7.1.2.3.4

اضرب $- 12$ في $4$ .

$8 - 48 + 45 \cdot 2 - 50$

خطوة 7.1.2.3.5

اطرح $48$ من $8$ .

$- 40 + 45 \cdot 2 - 50$

خطوة 7.1.2.3.6

اضرب $45$ في $2$ .

$- 40 + 90 - 50$

خطوة 7.1.2.3.7

أضف $- 40$ و $90$ .

$50 - 50$

خطوة 7.1.2.3.8

اطرح $50$ من $50$ .

$0$

خطوة 7.1.2.4

$\frac{λ^{3} - 12 λ^{2} + 45 λ - 50}{λ - 2}$

خطوة 7.1.2.5

اقسِم $λ^{3} - 12 λ^{2} + 45 λ - 50$ على $λ - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$λ$

$2$

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$45 λ$

$50$

خطوة 7.1.2.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $λ^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $λ$ .

					$λ^{2}$
	$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$50$

خطوة 7.1.2.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$50$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$

خطوة 7.1.2.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $λ^{3} - 2 λ^{2}$

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$50$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$

خطوة 7.1.2.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$50$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$10 λ^{2}$

خطوة 7.1.2.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$50$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$10 λ^{2}$	+	$45 λ$

خطوة 7.1.2.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 10 λ^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $λ$ .

				$λ^{2}$	-	$10 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$50$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$10 λ^{2}$	+	$45 λ$

خطوة 7.1.2.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$λ^{2}$	-	$10 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$50$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$10 λ^{2}$	+	$45 λ$
					-	$10 λ^{2}$	+	$20 λ$

خطوة 7.1.2.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 10 λ^{2} + 20 λ$

				$λ^{2}$	-	$10 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$50$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$10 λ^{2}$	+	$45 λ$
					+	$10 λ^{2}$	-	$20 λ$

خطوة 7.1.2.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$λ^{2}$	-	$10 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$50$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$10 λ^{2}$	+	$45 λ$
					+	$10 λ^{2}$	-	$20 λ$
							+	$25 λ$

خطوة 7.1.2.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$λ^{2}$	-	$10 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$50$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$10 λ^{2}$	+	$45 λ$
					+	$10 λ^{2}$	-	$20 λ$
							+	$25 λ$	-	$50$

خطوة 7.1.2.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $25 λ$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $λ$ .

				$λ^{2}$	-	$10 λ$	+	$25$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$50$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$10 λ^{2}$	+	$45 λ$
					+	$10 λ^{2}$	-	$20 λ$
							+	$25 λ$	-	$50$

خطوة 7.1.2.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$λ^{2}$	-	$10 λ$	+	$25$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$50$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$10 λ^{2}$	+	$45 λ$
					+	$10 λ^{2}$	-	$20 λ$
							+	$25 λ$	-	$50$
							+	$25 λ$	-	$50$

خطوة 7.1.2.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $25 λ - 50$

				$λ^{2}$	-	$10 λ$	+	$25$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$50$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$10 λ^{2}$	+	$45 λ$
					+	$10 λ^{2}$	-	$20 λ$
							+	$25 λ$	-	$50$
							-	$25 λ$	+	$50$

خطوة 7.1.2.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$λ^{2}$	-	$10 λ$	+	$25$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$50$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$10 λ^{2}$	+	$45 λ$
					+	$10 λ^{2}$	-	$20 λ$
							+	$25 λ$	-	$50$
							-	$25 λ$	+	$50$
										$0$

خطوة 7.1.2.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$λ^{2} - 10 λ + 25$

خطوة 7.1.2.6

اكتب $λ^{3} - 12 λ^{2} + 45 λ - 50$ في صورة مجموعة من العوامل.

$(λ - 2) ((λ - 2) (λ^{2} - 10 λ + 25)) = 0$

خطوة 7.1.3

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.3.1

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.3.1.1

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $5^{2}$ .

$(λ - 2) ((λ - 2) (λ^{2} - 10 λ + 5^{2})) = 0$

خطوة 7.1.3.1.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$10 λ = 2 \cdot λ \cdot 5$

خطوة 7.1.3.1.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$(λ - 2) ((λ - 2) (λ^{2} - 2 \cdot λ \cdot 5 + 5^{2})) = 0$

خطوة 7.1.3.1.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ، حيث $a = λ$ و $b = 5$ .

$(λ - 2) ((λ - 2) {(λ - 5)}^{2}) = 0$

خطوة 7.1.3.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$(λ - 2) (λ - 2) {(λ - 5)}^{2} = 0$

خطوة 7.1.4

جمّع العوامل المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.4.1

ارفع $λ - 2$ إلى القوة $1$ .

$(λ - 2) (λ - 2) {(λ - 5)}^{2} = 0$

خطوة 7.1.4.2

ارفع $λ - 2$ إلى القوة $1$ .

$(λ - 2) (λ - 2) {(λ - 5)}^{2} = 0$

خطوة 7.1.4.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

${(λ - 2)}^{1 + 1} {(λ - 5)}^{2} = 0$

خطوة 7.1.4.4

أضف $1$ و $1$ .

${(λ - 2)}^{2} {(λ - 5)}^{2} = 0$

خطوة 7.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

${(λ - 2)}^{2} = 0$

${(λ - 5)}^{2} = 0$

خطوة 7.3

عيّن قيمة العبارة ${(λ - 2)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

عيّن قيمة ${(λ - 2)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

${(λ - 2)}^{2} = 0$

خطوة 7.3.2

أوجِد قيمة $λ$ في ${(λ - 2)}^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1

عيّن قيمة $λ - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$λ - 2 = 0$

خطوة 7.3.2.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$λ = 2$

خطوة 7.4

عيّن قيمة العبارة ${(λ - 5)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

عيّن قيمة ${(λ - 5)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

${(λ - 5)}^{2} = 0$

خطوة 7.4.2

أوجِد قيمة $λ$ في ${(λ - 5)}^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.1

عيّن قيمة $λ - 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$λ - 5 = 0$

خطوة 7.4.2.2

أضف $5$ إلى كلا المتعادلين.

$λ = 5$

خطوة 7.5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة ${(λ - 2)}^{2} {(λ - 5)}^{2} = 0$ صحيحة.

$λ = 2, 5$