الجبر الخطي الأمثلة

$- 3 A = [\begin{array}{c} - 9 & - 1 \\ - 2 & - 3 \end{array}]$

خطوة 1

عيّن الصيغة لإيجاد المعادلة المميزة $p (λ)$ .

$p (λ) = محدِّد (A - λ I_{2})$

خطوة 2

المصفوفة المتطابقة أو مصفوفة الوحدة ذات الحجم $2$ هي المصفوفة المربعة $2 \times 2$ التي تكون فيها جميع العناصر الواقعة على القطر الرئيسي مساوية لواحد بينما تكون جميع عناصرها في أي مكان آخر مساوية لصفر.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 3

عوّض بالقيم المعروفة في $p (λ) = محدِّد (A - λ I_{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $A$ التي تساوي $[\begin{array}{c} - 9 & - 1 \\ - 2 & - 3 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 9 & - 1 \\ - 2 & - 3 \end{array}] - λ I_{2})$

خطوة 3.2

عوّض بقيمة $I_{2}$ التي تساوي $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 9 & - 1 \\ - 2 & - 3 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

اضرب $- λ$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 9 & - 1 \\ - 2 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 9 & - 1 \\ - 2 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.2

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 9 & - 1 \\ - 2 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.2.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 9 & - 1 \\ - 2 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.3

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.3.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 9 & - 1 \\ - 2 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.3.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 9 & - 1 \\ - 2 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 9 & - 1 \\ - 2 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

خطوة 4.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} - 9 - λ & - 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 3 - λ \end{array}]$

خطوة 4.3

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أضف $- 1$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} - 9 - λ & - 1 \\ - 2 + 0 & - 3 - λ \end{array}]$

خطوة 4.3.2

أضف $- 2$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} - 9 - λ & - 1 \\ - 2 & - 3 - λ \end{array}]$

خطوة 5

Find the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 9 - λ) (- 3 - λ) - (- 2 \cdot - 1)$

خطوة 5.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

وسّع $(- 9 - λ) (- 3 - λ)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = - 9 (- 3 - λ) - λ (- 3 - λ) - (- 2 \cdot - 1)$

خطوة 5.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = - 9 \cdot - 3 - 9 (- λ) - λ (- 3 - λ) - (- 2 \cdot - 1)$

خطوة 5.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = - 9 \cdot - 3 - 9 (- λ) - λ \cdot - 3 - λ (- λ) - (- 2 \cdot - 1)$

خطوة 5.2.1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.2.1.1

اضرب $- 9$ في $- 3$ .

$p (λ) = 27 - 9 (- λ) - λ \cdot - 3 - λ (- λ) - (- 2 \cdot - 1)$

خطوة 5.2.1.2.1.2

اضرب $- 1$ في $- 9$ .

$p (λ) = 27 + 9 λ - λ \cdot - 3 - λ (- λ) - (- 2 \cdot - 1)$

خطوة 5.2.1.2.1.3

اضرب $- 3$ في $- 1$ .

$p (λ) = 27 + 9 λ + 3 λ - λ (- λ) - (- 2 \cdot - 1)$

خطوة 5.2.1.2.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = 27 + 9 λ + 3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 2 \cdot - 1)$

خطوة 5.2.1.2.1.5

اضرب $λ$ في $λ$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.2.1.5.1

انقُل $λ$ .

$p (λ) = 27 + 9 λ + 3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 2 \cdot - 1)$

خطوة 5.2.1.2.1.5.2

اضرب $λ$ في $λ$ .

$p (λ) = 27 + 9 λ + 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 2 \cdot - 1)$

خطوة 5.2.1.2.1.6

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$p (λ) = 27 + 9 λ + 3 λ + 1 λ^{2} - (- 2 \cdot - 1)$

خطوة 5.2.1.2.1.7

اضرب $λ^{2}$ في $1$ .

$p (λ) = 27 + 9 λ + 3 λ + λ^{2} - (- 2 \cdot - 1)$

خطوة 5.2.1.2.2

أضف $9 λ$ و $3 λ$ .

$p (λ) = 27 + 12 λ + λ^{2} - (- 2 \cdot - 1)$

خطوة 5.2.1.3

اضرب $- (- 2 \cdot - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.3.1

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$p (λ) = 27 + 12 λ + λ^{2} - 1 \cdot 2$

خطوة 5.2.1.3.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$p (λ) = 27 + 12 λ + λ^{2} - 2$

خطوة 5.2.2

اطرح $2$ من $27$ .

$p (λ) = 12 λ + λ^{2} + 25$

خطوة 5.2.3

أعِد ترتيب $12 λ$ و $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} + 12 λ + 25$