الجبر الخطي الأمثلة

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}]$

خطوة 1

أوجِد القيم الذاتية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن الصيغة لإيجاد المعادلة المميزة $p (λ)$ .

$p (λ) = محدِّد (A - λ I_{3})$

خطوة 1.2

المصفوفة المتطابقة أو مصفوفة الوحدة ذات الحجم $3$ هي المصفوفة المربعة $3 \times 3$ التي تكون فيها جميع العناصر الواقعة على القطر الرئيسي مساوية لواحد بينما تكون جميع عناصرها في أي مكان آخر مساوية لصفر.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 1.3

عوّض بالقيم المعروفة في $p (λ) = محدِّد (A - λ I_{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $A$ التي تساوي $[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] - λ I_{3})$

خطوة 1.3.2

عوّض بقيمة $I_{3}$ التي تساوي $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

اضرب $- λ$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.2

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.2.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.2.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.3

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.3.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.3.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.4

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.4.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.4.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.6

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.6.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.6.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.7

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.7.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.7.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.8

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.8.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.8.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.9

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

خطوة 1.4.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1

أضف $2$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.2

أضف $- 1$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 1 \\ 1 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.3

أضف $1$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 1 \\ 1 & 0 - λ & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.4

اطرح $λ$ من $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 1 \\ 1 & - λ & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.5

أضف $1$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 1 \\ 1 & - λ & 1 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.6

أضف $- 2$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 1 \\ 1 & - λ & 1 \\ - 2 & - 2 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.7

أضف $- 2$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 1 \\ 1 & - λ & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.8

اطرح $λ$ من $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 1 \\ 1 & - λ & 1 \\ - 2 & - 2 & - λ \end{array}]$

خطوة 1.5

Find the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

خطوة 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

خطوة 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 2 & - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 2 & - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - λ \\ - 2 & - 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ \\ - 2 & - 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 2 & - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ \\ - 2 & - 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.2

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 2 & - λ \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ (- λ) - (- 2 \cdot 1)) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ \\ - 2 & - 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 2 \cdot 1)) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ \\ - 2 & - 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.2.2.2

اضرب $λ$ في $λ$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.2.1

انقُل $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 2 \cdot 1)) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ \\ - 2 & - 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.2.2.2.2

اضرب $λ$ في $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 2 \cdot 1)) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ \\ - 2 & - 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.2.2.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (1 λ^{2} - (- 2 \cdot 1)) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ \\ - 2 & - 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.2.2.4

اضرب $λ^{2}$ في $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - (- 2 \cdot 1)) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ \\ - 2 & - 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.2.2.5

اضرب $- (- 2 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.5.1

اضرب $- 2$ في $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - - 2) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ \\ - 2 & - 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.2.2.5.2

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} + 2) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ \\ - 2 & - 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.3

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - λ \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} + 2) - 2 (1 (- λ) - (- 2 \cdot 1)) - 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ \\ - 2 & - 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1

اضرب $- λ$ في $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} + 2) - 2 (- λ - (- 2 \cdot 1)) - 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ \\ - 2 & - 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.3.2.2

اضرب $- (- 2 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.2.1

اضرب $- 2$ في $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} + 2) - 2 (- λ - - 2) - 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ \\ - 2 & - 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.3.2.2.2

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} + 2) - 2 (- λ + 2) - 1 | \begin{array}{c} 1 & - λ \\ - 2 & - 2 \end{array} |$

خطوة 1.5.4

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} 1 & - λ \\ - 2 & - 2 \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} + 2) - 2 (- λ + 2) - 1 (1 \cdot - 2 - (- 2 (- λ)))$

خطوة 1.5.4.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1.1

اضرب $- 2$ في $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} + 2) - 2 (- λ + 2) - 1 (- 2 - (- 2 (- λ)))$

خطوة 1.5.4.2.1.2

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} + 2) - 2 (- λ + 2) - 1 (- 2 - (2 λ))$

خطوة 1.5.4.2.1.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} + 2) - 2 (- λ + 2) - 1 (- 2 - 2 λ)$

خطوة 1.5.4.2.2

أعِد ترتيب $- 2$ و $- 2 λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} + 2) - 2 (- λ + 2) - 1 (- 2 λ - 2)$

خطوة 1.5.5

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.1.1

وسّع $(1 - λ) (λ^{2} + 2)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 1 (λ^{2} + 2) - λ (λ^{2} + 2) - 2 (- λ + 2) - 1 (- 2 λ - 2)$

خطوة 1.5.5.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 1 λ^{2} + 1 \cdot 2 - λ (λ^{2} + 2) - 2 (- λ + 2) - 1 (- 2 λ - 2)$

خطوة 1.5.5.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 1 λ^{2} + 1 \cdot 2 - λ \cdot λ^{2} - λ \cdot 2 - 2 (- λ + 2) - 1 (- 2 λ - 2)$

خطوة 1.5.5.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.1.2.1

اضرب $λ^{2}$ في $1$ .

$p (λ) = λ^{2} + 1 \cdot 2 - λ \cdot λ^{2} - λ \cdot 2 - 2 (- λ + 2) - 1 (- 2 λ - 2)$

خطوة 1.5.5.1.2.2

اضرب $2$ في $1$ .

$p (λ) = λ^{2} + 2 - λ \cdot λ^{2} - λ \cdot 2 - 2 (- λ + 2) - 1 (- 2 λ - 2)$

خطوة 1.5.5.1.2.3

اضرب $λ$ في $λ^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.1.2.3.1

انقُل $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} + 2 - (λ^{2} λ) - λ \cdot 2 - 2 (- λ + 2) - 1 (- 2 λ - 2)$

خطوة 1.5.5.1.2.3.2

اضرب $λ^{2}$ في $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.1.2.3.2.1

ارفع $λ$ إلى القوة $1$ .

$p (λ) = λ^{2} + 2 - (λ^{2} λ^{1}) - λ \cdot 2 - 2 (- λ + 2) - 1 (- 2 λ - 2)$

خطوة 1.5.5.1.2.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$p (λ) = λ^{2} + 2 - λ^{2 + 1} - λ \cdot 2 - 2 (- λ + 2) - 1 (- 2 λ - 2)$

خطوة 1.5.5.1.2.3.3

أضف $2$ و $1$ .

$p (λ) = λ^{2} + 2 - λ^{3} - λ \cdot 2 - 2 (- λ + 2) - 1 (- 2 λ - 2)$

خطوة 1.5.5.1.2.4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$p (λ) = λ^{2} + 2 - λ^{3} - 2 λ - 2 (- λ + 2) - 1 (- 2 λ - 2)$

خطوة 1.5.5.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = λ^{2} + 2 - λ^{3} - 2 λ - 2 (- λ) - 2 \cdot 2 - 1 (- 2 λ - 2)$

خطوة 1.5.5.1.4

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$p (λ) = λ^{2} + 2 - λ^{3} - 2 λ + 2 λ - 2 \cdot 2 - 1 (- 2 λ - 2)$

خطوة 1.5.5.1.5

اضرب $- 2$ في $2$ .

$p (λ) = λ^{2} + 2 - λ^{3} - 2 λ + 2 λ - 4 - 1 (- 2 λ - 2)$

خطوة 1.5.5.1.6

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = λ^{2} + 2 - λ^{3} - 2 λ + 2 λ - 4 - 1 (- 2 λ) - 1 \cdot - 2$

خطوة 1.5.5.1.7

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$p (λ) = λ^{2} + 2 - λ^{3} - 2 λ + 2 λ - 4 + 2 λ - 1 \cdot - 2$

خطوة 1.5.5.1.8

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$p (λ) = λ^{2} + 2 - λ^{3} - 2 λ + 2 λ - 4 + 2 λ + 2$

خطوة 1.5.5.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $λ^{2} + 2 - λ^{3} - 2 λ + 2 λ - 4 + 2 λ + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.2.1

أضف $- 2 λ$ و $2 λ$ .

$p (λ) = λ^{2} + 2 - λ^{3} + 0 - 4 + 2 λ + 2$

خطوة 1.5.5.2.2

أضف $λ^{2} + 2 - λ^{3}$ و $0$ .

$p (λ) = λ^{2} + 2 - λ^{3} - 4 + 2 λ + 2$

خطوة 1.5.5.3

اطرح $4$ من $2$ .

$p (λ) = λ^{2} - λ^{3} - 2 + 2 λ + 2$

خطوة 1.5.5.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $λ^{2} - λ^{3} - 2 + 2 λ + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.4.1

أضف $- 2$ و $2$ .

$p (λ) = λ^{2} - λ^{3} + 2 λ + 0$

خطوة 1.5.5.4.2

أضف $λ^{2} - λ^{3} + 2 λ$ و $0$ .

$p (λ) = λ^{2} - λ^{3} + 2 λ$

خطوة 1.5.5.5

أعِد ترتيب $λ^{2}$ و $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + λ^{2} + 2 λ$

خطوة 1.6

عيّن قيمة متعدد الحدود المميز بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد القيم الذاتية $λ$ .

$- λ^{3} + λ^{2} + 2 λ = 0$

خطوة 1.7

أوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.1

أخرِج العامل $- λ$ من $- λ^{3} + λ^{2} + 2 λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.1.1

أخرِج العامل $- λ$ من $- λ^{3}$ .

$- λ \cdot λ^{2} + λ^{2} + 2 λ = 0$

خطوة 1.7.1.1.2

أخرِج العامل $- λ$ من $λ^{2}$ .

$- λ \cdot λ^{2} - λ (- λ) + 2 λ = 0$

خطوة 1.7.1.1.3

أخرِج العامل $- λ$ من $2 λ$ .

$- λ \cdot λ^{2} - λ (- λ) - λ \cdot - 2 = 0$

خطوة 1.7.1.1.4

أخرِج العامل $- λ$ من $- λ (λ^{2}) - λ (- λ)$ .

$- λ (λ^{2} - λ) - λ \cdot - 2 = 0$

خطوة 1.7.1.1.5

أخرِج العامل $- λ$ من $- λ (λ^{2} - λ) - λ (- 2)$ .

$- λ (λ^{2} - λ - 2) = 0$

خطوة 1.7.1.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.2.1

حلّل $λ^{2} - λ - 2$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.2.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 2$ ومجموعهما $- 1$ .

$- 2, 1$

خطوة 1.7.1.2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$- λ ((λ - 2) (λ + 1)) = 0$

خطوة 1.7.1.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$- λ (λ - 2) (λ + 1) = 0$

خطوة 1.7.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$λ = 0$

$λ - 2 = 0$

$λ + 1 = 0$

خطوة 1.7.3

عيّن قيمة $λ$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$λ = 0$

خطوة 1.7.4

عيّن قيمة العبارة $λ - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.1

عيّن قيمة $λ - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$λ - 2 = 0$

خطوة 1.7.4.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$λ = 2$

خطوة 1.7.5

عيّن قيمة العبارة $λ + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.5.1

عيّن قيمة $λ + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$λ + 1 = 0$

خطوة 1.7.5.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$λ = - 1$

خطوة 1.7.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- λ (λ - 2) (λ + 1) = 0$ صحيحة.

$λ = 0, 2, - 1$

خطوة 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

خطوة 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + 0 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

اضرب $0$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.1

اضرب $0$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.2

اضرب $0$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.3

اضرب $0$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.4

اضرب $0$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.5

اضرب $0$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.6

اضرب $0$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.7

اضرب $0$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.8

اضرب $0$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.9

اضرب $0$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2

Adding any matrix to a null matrix is the matrix itself.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

اجمع العناصر المتناظرة.

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & 2 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.2.1

أضف $1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2.2

أضف $2$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2.3

أضف $- 1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2.4

أضف $1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2.5

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2.6

أضف $1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2.7

أضف $- 2$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2.8

أضف $- 2$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 + 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2.9

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3

Find the null space when $λ = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ - 2 & - 2 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 1 - 1 & 0 - 2 & 1 + 1 & 0 - 0 \\ - 2 & - 2 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.1.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & - 2 & 2 & 0 \\ - 2 & - 2 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & - 2 & 2 & 0 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & - 2 + 2 \cdot 2 & 0 + 2 \cdot - 1 & 0 + 2 \cdot 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.2.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & - 2 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & - 2 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & 0 \\ - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 2 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 0 & 2 & - 2 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.3.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 2 & - 2 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & - 2 - 2 \cdot - 1 & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.4.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.5

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & - 1 - 2 \cdot - 1 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.5.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + z = 0$

$y - z = 0$

$0 = 0$

خطوة 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - z \\ z \\ z \end{array}]$

خطوة 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

خطوة 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

خطوة 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$

خطوة 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] - 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

اضرب $- 2$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.2.1

اضرب $- 2$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.2

اضرب $- 2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.3

اضرب $- 2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.4

اضرب $- 2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.5

اضرب $- 2$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.6

اضرب $- 2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.7

اضرب $- 2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.8

اضرب $- 2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.9

اضرب $- 2$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$[\begin{array}{c} 1 - 2 & 2 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 - 2 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 - 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.3

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

اطرح $2$ من $1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 - 2 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 - 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.2

أضف $2$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 - 2 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 - 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.3

أضف $- 1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 & - 1 \\ 1 + 0 & 0 - 2 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 - 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.4

أضف $1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 - 2 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 - 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.5

اطرح $2$ من $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 & - 1 \\ 1 & - 2 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 - 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.6

أضف $1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 & - 1 \\ 1 & - 2 & 1 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 - 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.7

أضف $- 2$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 & - 1 \\ 1 & - 2 & 1 \\ - 2 & - 2 + 0 & 0 - 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.8

أضف $- 2$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 & - 1 \\ 1 & - 2 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 - 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.9

اطرح $2$ من $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 & - 1 \\ 1 & - 2 & 1 \\ - 2 & - 2 & - 2 \end{array}]$

خطوة 4.3

Find the null space when $λ = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 1 & - 2 & 1 & 0 \\ - 2 & - 2 & - 2 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 1 \cdot 2 & - - 1 & - 0 \\ 1 & - 2 & 1 & 0 \\ - 2 & - 2 & - 2 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.1.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 1 & - 2 & 1 & 0 \\ - 2 & - 2 & - 2 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 1 - 1 & - 2 + 2 & 1 - 1 & 0 - 0 \\ - 2 & - 2 & - 2 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.2.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & - 2 & - 2 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & - 2 + 2 \cdot - 2 & - 2 + 2 \cdot 1 & 0 + 2 \cdot 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.3.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 6 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.4

Swap $R_{3}$ with $R_{2}$ to put a nonzero entry at $2, 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.5

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{6}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.5.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{6}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & 0 \\ - \frac{1}{6} \cdot 0 & - \frac{1}{6} \cdot - 6 & - \frac{1}{6} \cdot 0 & - \frac{1}{6} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.5.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 2 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 2 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & 1 + 2 \cdot 0 & 0 + 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.6.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + z = 0$

$y = 0$

$0 = 0$

خطوة 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - z \\ 0 \\ z \end{array}]$

خطوة 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

خطوة 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

خطوة 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

خطوة 5

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اجمع العناصر المتناظرة.

$[\begin{array}{c} 1 + 1 & 2 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 1 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.2

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

أضف $1$ و $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 1 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.2.2

أضف $2$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 1 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.2.3

أضف $- 1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & - 1 \\ 1 + 0 & 0 + 1 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.2.4

أضف $1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & - 1 \\ 1 & 0 + 1 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.2.5

أضف $0$ و $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.2.6

أضف $1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ - 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.2.7

أضف $- 2$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ - 2 & - 2 + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.2.8

أضف $- 2$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ - 2 & - 2 & 0 + 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.2.9

أضف $0$ و $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ - 2 & - 2 & 1 \end{array}]$

خطوة 5.3

Find the null space when $λ = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & - 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ - 2 & - 2 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{2}{2} & \frac{- 1}{2} & \frac{0}{2} \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ - 2 & - 2 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.1.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ - 2 & - 2 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 1 - 1 & 1 - 1 & 1 + \frac{1}{2} & 0 - 0 \\ - 2 & - 2 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.2.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{3}{2} & 0 \\ - 2 & - 2 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{3}{2} & 0 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & - 2 + 2 \cdot 1 & 1 + 2 (- \frac{1}{2}) & 0 + 2 \cdot 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.3.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{2}{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{2}{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{2}{3} \cdot 0 & \frac{2}{3} \cdot 0 & \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} & \frac{2}{3} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.4.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.5

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 & 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 & 0 + \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.5.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + y = 0$

$z = 0$

$0 = 0$

خطوة 5.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - y \\ y \\ 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = y [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}] | y \in R}$

خطوة 5.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$

خطوة 6

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$