الجبر الخطي الأمثلة

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 1

أوجِد القيم الذاتية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن الصيغة لإيجاد المعادلة المميزة $p (λ)$ .

$p (λ) = محدِّد (A - λ I_{4})$

خطوة 1.2

المصفوفة المتطابقة أو مصفوفة الوحدة ذات الحجم $4$ هي المصفوفة المربعة $4 \times 4$ التي تكون فيها جميع العناصر الواقعة على القطر الرئيسي مساوية لواحد بينما تكون جميع عناصرها في أي مكان آخر مساوية لصفر.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 1.3

عوّض بالقيم المعروفة في $p (λ) = محدِّد (A - λ I_{4})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $A$ التي تساوي $[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] - λ I_{4})$

خطوة 1.3.2

عوّض بقيمة $I_{4}$ التي تساوي $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

اضرب $- λ$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.2

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.2.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.2.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.3

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.3.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.3.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.4

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.4.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.4.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.5

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.5.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.5.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.7

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.7.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.7.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.8

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.8.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.8.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.9

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.9.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.9.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.10

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.10.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.10.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.11

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.12

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.12.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.12.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.13

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.13.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.13.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.14

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.14.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.14.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.15

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.15.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.15.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.16

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

خطوة 1.4.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 + 0 & - 5 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1

أضف $0$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & - 5 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.2

أضف $- 5$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & - 5 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.3

أضف $0$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & - 5 & 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.4

أضف $0$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.5

أضف $0$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.6

أضف $0$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.7

أضف $0$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.8

أضف $0$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.9

اطرح $λ$ من $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.10

أضف $1$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 1 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.11

أضف $0$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 1 \\ 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.12

أضف $0$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 1 \\ 0 & 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.13

أضف $0$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.14

اطرح $λ$ من $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 1 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}]$

خطوة 1.5

Find the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

خطوة 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

خطوة 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 5 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & - 5 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 5 & 0 \\ 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & - 5 & 0 \\ 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.1.9

The minor for $a_{41}$ is the determinant with row $4$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 5 & 0 \\ 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \end{array} |$

خطوة 1.5.1.10

Multiply element $a_{41}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & - 5 & 0 \\ 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \end{array} |$

خطوة 1.5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 5 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 5 & 0 \\ 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 5 & 0 \\ 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \end{array} |$

خطوة 1.5.2

اضرب $0$ في $| \begin{array}{c} 0 & - 5 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 5 & 0 \\ 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 5 & 0 \\ 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \end{array} |$

خطوة 1.5.3

اضرب $0$ في $| \begin{array}{c} 0 & - 5 & 0 \\ 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 5 & 0 \\ 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \end{array} |$

خطوة 1.5.4

اضرب $0$ في $| \begin{array}{c} 0 & - 5 & 0 \\ 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0$

خطوة 1.5.5

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

خطوة 1.5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

خطوة 1.5.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - λ & 1 \\ 0 & - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 1 \\ 0 & - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - λ \\ 0 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & - λ \\ 0 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 1 \\ 0 & - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & - λ \\ 0 & 0 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

خطوة 1.5.5.2

اضرب $0$ في $| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 1 \\ 0 & - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & - λ \\ 0 & 0 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

خطوة 1.5.5.3

اضرب $0$ في $| \begin{array}{c} 0 & - λ \\ 0 & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 1 \\ 0 & - λ \end{array} | + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

خطوة 1.5.5.4

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} - λ & 1 \\ 0 & - λ \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.4.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (- λ (- λ) + 0 \cdot 1) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

خطوة 1.5.5.4.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.4.2.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (- 1 \cdot - 1 λ \cdot λ + 0 \cdot 1) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

خطوة 1.5.5.4.2.1.2

اضرب $λ$ في $λ$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.4.2.1.2.1

انقُل $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (- 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) + 0 \cdot 1) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

خطوة 1.5.5.4.2.1.2.2

اضرب $λ$ في $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (- 1 \cdot - 1 λ^{2} + 0 \cdot 1) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

خطوة 1.5.5.4.2.1.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (1 λ^{2} + 0 \cdot 1) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

خطوة 1.5.5.4.2.1.4

اضرب $λ^{2}$ في $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} + 0 \cdot 1) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

خطوة 1.5.5.4.2.1.5

اضرب $0$ في $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} + 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

خطوة 1.5.5.4.2.2

أضف $λ^{2}$ و $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) λ^{2} + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

خطوة 1.5.5.5

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.5.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $(1 - λ) λ^{2} + 0 + 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.5.1.1

أضف $(1 - λ) λ^{2}$ و $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) λ^{2} + 0) + 0 + 0 + 0$

خطوة 1.5.5.5.1.2

أضف $(1 - λ) λ^{2}$ و $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) λ^{2}) + 0 + 0 + 0$

خطوة 1.5.5.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = (1 - λ) (1 λ^{2} - λ \cdot λ^{2}) + 0 + 0 + 0$

خطوة 1.5.5.5.3

اضرب $λ^{2}$ في $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - λ \cdot λ^{2}) + 0 + 0 + 0$

خطوة 1.5.5.5.4

اضرب $λ$ في $λ^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.5.4.1

انقُل $λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - (λ^{2} λ)) + 0 + 0 + 0$

خطوة 1.5.5.5.4.2

اضرب $λ^{2}$ في $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.5.4.2.1

ارفع $λ$ إلى القوة $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - (λ^{2} λ^{1})) + 0 + 0 + 0$

خطوة 1.5.5.5.4.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - λ^{2 + 1}) + 0 + 0 + 0$

خطوة 1.5.5.5.4.3

أضف $2$ و $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - λ^{3}) + 0 + 0 + 0$

خطوة 1.5.5.5.5

أعِد ترتيب $λ^{2}$ و $- λ^{3}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + λ^{2}) + 0 + 0 + 0$

خطوة 1.5.6

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.6.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $(1 - λ) (- λ^{3} + λ^{2}) + 0 + 0 + 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.6.1.1

أضف $(1 - λ) (- λ^{3} + λ^{2})$ و $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + λ^{2}) + 0 + 0$

خطوة 1.5.6.1.2

أضف $(1 - λ) (- λ^{3} + λ^{2})$ و $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + λ^{2}) + 0$

خطوة 1.5.6.1.3

أضف $(1 - λ) (- λ^{3} + λ^{2})$ و $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + λ^{2})$

خطوة 1.5.6.2

وسّع $(1 - λ) (- λ^{3} + λ^{2})$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.6.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 1 (- λ^{3} + λ^{2}) - λ (- λ^{3} + λ^{2})$

خطوة 1.5.6.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 1 (- λ^{3}) + 1 λ^{2} - λ (- λ^{3} + λ^{2})$

خطوة 1.5.6.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 1 (- λ^{3}) + 1 λ^{2} - λ (- λ^{3}) - λ \cdot λ^{2}$

خطوة 1.5.6.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.6.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.6.3.1.1

اضرب $- λ^{3}$ في $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 1 λ^{2} - λ (- λ^{3}) - λ \cdot λ^{2}$

خطوة 1.5.6.3.1.2

اضرب $λ^{2}$ في $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + λ^{2} - λ (- λ^{3}) - λ \cdot λ^{2}$

خطوة 1.5.6.3.1.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = - λ^{3} + λ^{2} - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ \cdot λ^{2}$

خطوة 1.5.6.3.1.4

اضرب $λ$ في $λ^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.6.3.1.4.1

انقُل $λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + λ^{2} - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ \cdot λ^{2}$

خطوة 1.5.6.3.1.4.2

اضرب $λ^{3}$ في $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.6.3.1.4.2.1

ارفع $λ$ إلى القوة $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + λ^{2} - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ \cdot λ^{2}$

خطوة 1.5.6.3.1.4.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$p (λ) = - λ^{3} + λ^{2} - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ \cdot λ^{2}$

خطوة 1.5.6.3.1.4.3

أضف $3$ و $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + λ^{2} - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ \cdot λ^{2}$

خطوة 1.5.6.3.1.5

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + λ^{2} + 1 λ^{4} - λ \cdot λ^{2}$

خطوة 1.5.6.3.1.6

اضرب $λ^{4}$ في $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + λ^{2} + λ^{4} - λ \cdot λ^{2}$

خطوة 1.5.6.3.1.7

اضرب $λ$ في $λ^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.6.3.1.7.1

انقُل $λ^{2}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + λ^{2} + λ^{4} - (λ^{2} λ)$

خطوة 1.5.6.3.1.7.2

اضرب $λ^{2}$ في $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.6.3.1.7.2.1

ارفع $λ$ إلى القوة $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + λ^{2} + λ^{4} - (λ^{2} λ^{1})$

خطوة 1.5.6.3.1.7.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$p (λ) = - λ^{3} + λ^{2} + λ^{4} - λ^{2 + 1}$

خطوة 1.5.6.3.1.7.3

أضف $2$ و $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + λ^{2} + λ^{4} - λ^{3}$

خطوة 1.5.6.3.2

اطرح $λ^{3}$ من $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + λ^{2} + λ^{4}$

خطوة 1.5.6.4

انقُل $λ^{2}$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + λ^{4} + λ^{2}$

خطوة 1.5.6.5

أعِد ترتيب $- 2 λ^{3}$ و $λ^{4}$ .

$p (λ) = λ^{4} - 2 λ^{3} + λ^{2}$

خطوة 1.6

عيّن قيمة متعدد الحدود المميز بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد القيم الذاتية $λ$ .

$λ^{4} - 2 λ^{3} + λ^{2} = 0$

خطوة 1.7

أوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.1

أخرِج العامل $λ^{2}$ من $λ^{4} - 2 λ^{3} + λ^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.1.1

أخرِج العامل $λ^{2}$ من $λ^{4}$ .

$λ^{2} λ^{2} - 2 λ^{3} + λ^{2} = 0$

خطوة 1.7.1.1.2

أخرِج العامل $λ^{2}$ من $- 2 λ^{3}$ .

$λ^{2} λ^{2} + λ^{2} (- 2 λ) + λ^{2} = 0$

خطوة 1.7.1.1.3

اضرب في $1$ .

$λ^{2} λ^{2} + λ^{2} (- 2 λ) + λ^{2} \cdot 1 = 0$

خطوة 1.7.1.1.4

أخرِج العامل $λ^{2}$ من $λ^{2} λ^{2} + λ^{2} (- 2 λ)$ .

$λ^{2} (λ^{2} - 2 λ) + λ^{2} \cdot 1 = 0$

خطوة 1.7.1.1.5

أخرِج العامل $λ^{2}$ من $λ^{2} (λ^{2} - 2 λ) + λ^{2} \cdot 1$ .

$λ^{2} (λ^{2} - 2 λ + 1) = 0$

خطوة 1.7.1.2

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.2.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$λ^{2} (λ^{2} - 2 λ + 1^{2}) = 0$

خطوة 1.7.1.2.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$2 λ = 2 \cdot λ \cdot 1$

خطوة 1.7.1.2.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$λ^{2} (λ^{2} - 2 \cdot λ \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

خطوة 1.7.1.2.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ، حيث $a = λ$ و $b = 1$ .

$λ^{2} {(λ - 1)}^{2} = 0$

خطوة 1.7.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$λ^{2} = 0$

${(λ - 1)}^{2} = 0$

خطوة 1.7.3

عيّن قيمة العبارة $λ^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.1

عيّن قيمة $λ^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$λ^{2} = 0$

خطوة 1.7.3.2

أوجِد قيمة $λ$ في $λ^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$λ = \pm \sqrt{0}$

خطوة 1.7.3.2.2

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$λ = \pm \sqrt{0^{2}}$

خطوة 1.7.3.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$λ = \pm 0$

خطوة 1.7.3.2.2.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$λ = 0$

خطوة 1.7.4

عيّن قيمة العبارة ${(λ - 1)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.1

عيّن قيمة ${(λ - 1)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

${(λ - 1)}^{2} = 0$

خطوة 1.7.4.2

أوجِد قيمة $λ$ في ${(λ - 1)}^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.2.1

عيّن قيمة $λ - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$λ - 1 = 0$

خطوة 1.7.4.2.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$λ = 1$

خطوة 1.7.5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $λ^{2} {(λ - 1)}^{2} = 0$ صحيحة.

$λ = 0, 1$

خطوة 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{4})$

خطوة 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + 0 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

اضرب $0$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.1

اضرب $0$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.2

اضرب $0$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.3

اضرب $0$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.4

اضرب $0$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.5

اضرب $0$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.6

اضرب $0$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.7

اضرب $0$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.8

اضرب $0$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.9

اضرب $0$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.10

اضرب $0$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.11

اضرب $0$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.12

اضرب $0$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.13

اضرب $0$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.14

اضرب $0$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.15

اضرب $0$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.16

اضرب $0$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2

Adding any matrix to a null matrix is the matrix itself.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

اجمع العناصر المتناظرة.

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.2.1

أضف $1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 + 0 & - 5 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2.3

أضف $- 5$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2.4

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2.5

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2.6

أضف $1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2.7

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2.8

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2.9

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2.10

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2.11

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2.12

أضف $1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2.13

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2.14

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2.15

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 + 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2.16

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3

Find the null space when $λ = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x_{1} - 5 x_{3} = 0$

$x_{2} = 0$

$x_{4} = 0$

$0 = 0$

خطوة 3.3.3

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = [\begin{array}{c} 5 x_{3} \\ 0 \\ x_{3} \\ 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.4

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = x_{3} [\begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.5

Write as a solution set.

${x_{3} [\begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}] | x_{3} \in R}$

خطوة 3.3.6

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$

خطوة 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اطرح العناصر المتناظرة.

$[\begin{array}{c} 1 - 1 & 0 - 0 & - 5 - 0 & 0 - 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.2

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

اطرح $1$ من $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 - 0 & - 5 - 0 & 0 - 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.2.2

اطرح $0$ من $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 - 0 & 0 - 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.2.3

اطرح $0$ من $- 5$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 & 0 - 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.2.4

اطرح $0$ من $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.2.5

اطرح $0$ من $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.2.6

اطرح $1$ من $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 - 0 & 0 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.2.7

اطرح $0$ من $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.2.8

اطرح $0$ من $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.2.9

اطرح $0$ من $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 - 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.2.10

اطرح $0$ من $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.2.11

اطرح $1$ من $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.2.12

اطرح $0$ من $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 1 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.2.13

اطرح $0$ من $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.2.14

اطرح $0$ من $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.2.15

اطرح $0$ من $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 - 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.2.16

اطرح $1$ من $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \end{array}]$

خطوة 4.3

Find the null space when $λ = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 3$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.1.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 3$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.2.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.3

Swap $R_{3}$ with $R_{2}$ to put a nonzero entry at $2, 4$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.4

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + R_{2}$ to make the entry at $4, 4$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + R_{2}$ to make the entry at $4, 4$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.4.2

بسّط $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x_{3} = 0$

$x_{4} = 0$

$0 = 0$

خطوة 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = x_{1} [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + x_{2} [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.6

Write as a solution set.

${x_{1} [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + x_{2} [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}] | x_{1}, x_{2} \in R}$

خطوة 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$

خطوة 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$