الجبر الخطي الأمثلة

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}]$

خطوة 1

أوجِد القيم الذاتية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن الصيغة لإيجاد المعادلة المميزة $p (λ)$ .

$p (λ) = محدِّد (A - λ I_{4})$

خطوة 1.2

المصفوفة المتطابقة أو مصفوفة الوحدة ذات الحجم $4$ هي المصفوفة المربعة $4 \times 4$ التي تكون فيها جميع العناصر الواقعة على القطر الرئيسي مساوية لواحد بينما تكون جميع عناصرها في أي مكان آخر مساوية لصفر.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 1.3

عوّض بالقيم المعروفة في $p (λ) = محدِّد (A - λ I_{4})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $A$ التي تساوي $[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] - λ I_{4})$

خطوة 1.3.2

عوّض بقيمة $I_{4}$ التي تساوي $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

اضرب $- λ$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.2

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.2.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.2.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.3

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.3.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.3.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.4

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.4.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.4.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.5

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.5.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.5.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.7

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.7.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.7.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.8

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.8.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.8.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.9

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.9.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.9.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.10

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.10.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.10.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.11

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.12

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.12.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.12.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.13

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.13.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.13.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.14

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.14.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.14.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.15

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.15.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.15.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.16

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

خطوة 1.4.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & - 2 - λ & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1

أضف $0$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & - 2 - λ & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.2

أضف $0$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & - 2 - λ & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.3

أضف $1$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 1 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & - 2 - λ & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.4

أضف $1$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & - 2 - λ & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.5

أضف $0$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & - 2 - λ & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.6

أضف $- 1$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & 0 & - 1 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & - 2 - λ & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.7

أضف $1$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & 0 & - 1 \\ 1 & 5 + 0 & - 2 - λ & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.8

أضف $5$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 - λ & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.9

أضف $- 1$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 - λ & - 1 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.10

أضف $0$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 - λ & - 1 \\ 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.11

أضف $0$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 - λ & - 1 \\ 0 & 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.12

أضف $0$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 - λ & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 - λ \end{array}]$

خطوة 1.5

Find the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $3$ by its cofactor and add.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

خطوة 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

خطوة 1.5.1.3

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & - 1 \\ 1 & 5 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.1.4

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & - 1 \\ 1 & 5 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.1.5

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 1 \\ 1 & 5 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.1.6

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 1 \\ 1 & 5 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.1.7

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & - 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.1.8

Multiply element $a_{33}$ by its cofactor.

$(- 2 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & - 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.1.9

The minor for $a_{43}$ is the determinant with row $4$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & - 1 \\ 1 & 5 & - 1 \end{array} |$

خطوة 1.5.1.10

Multiply element $a_{43}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & - 1 \\ 1 & 5 & - 1 \end{array} |$

خطوة 1.5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & - 1 \\ 1 & 5 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 1 \\ 1 & 5 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} | + (- 2 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & - 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & - 1 \\ 1 & 5 & - 1 \end{array} |$

خطوة 1.5.2

اضرب $0$ في $| \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & - 1 \\ 1 & 5 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 | \begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 1 \\ 1 & 5 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} | + (- 2 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & - 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & - 1 \\ 1 & 5 & - 1 \end{array} |$

خطوة 1.5.3

اضرب $0$ في $| \begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 1 \\ 1 & 5 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & - 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & - 1 \\ 1 & 5 & - 1 \end{array} |$

خطوة 1.5.4

اضرب $0$ في $| \begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & - 1 \\ 1 & 5 & - 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & - 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} | + 0$

خطوة 1.5.5

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & - 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $2$ by its cofactor and add.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

خطوة 1.5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

خطوة 1.5.5.1.3

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 2 - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.5.1.4

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 2 - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.5.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 0 & 2 - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.5.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$(2 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 0 & 2 - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.5.1.7

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 1 & - 1 \end{array} |$

خطوة 1.5.5.1.8

Multiply element $a_{32}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 1 & - 1 \end{array} |$

خطوة 1.5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (0 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 2 - λ \end{array} | + (2 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 1 & - 1 \end{array} |) + 0$

خطوة 1.5.5.2

اضرب $0$ في $| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 2 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (0 + (2 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 1 & - 1 \end{array} |) + 0$

خطوة 1.5.5.3

اضرب $0$ في $| \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 1 & - 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (0 + (2 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 0 & 2 - λ \end{array} | + 0) + 0$

خطوة 1.5.5.4

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 0 & 2 - λ \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.4.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (0 + (2 - λ) ((2 - λ) (2 - λ) + 0 \cdot 1) + 0) + 0$

خطوة 1.5.5.4.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.4.2.1.1

وسّع $(2 - λ) (2 - λ)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.4.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (0 + (2 - λ) (2 (2 - λ) - λ (2 - λ) + 0 \cdot 1) + 0) + 0$

خطوة 1.5.5.4.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (0 + (2 - λ) (2 \cdot 2 + 2 (- λ) - λ (2 - λ) + 0 \cdot 1) + 0) + 0$

خطوة 1.5.5.4.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (0 + (2 - λ) (2 \cdot 2 + 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) + 0 \cdot 1) + 0) + 0$

خطوة 1.5.5.4.2.1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.4.2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.4.2.1.2.1.1

اضرب $2$ في $2$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (0 + (2 - λ) (4 + 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) + 0 \cdot 1) + 0) + 0$

خطوة 1.5.5.4.2.1.2.1.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (0 + (2 - λ) (4 - 2 λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) + 0 \cdot 1) + 0) + 0$

خطوة 1.5.5.4.2.1.2.1.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (0 + (2 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ - λ (- λ) + 0 \cdot 1) + 0) + 0$

خطوة 1.5.5.4.2.1.2.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (0 + (2 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ + 0 \cdot 1) + 0) + 0$

خطوة 1.5.5.4.2.1.2.1.5

اضرب $λ$ في $λ$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.4.2.1.2.1.5.1

انقُل $λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (0 + (2 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) + 0 \cdot 1) + 0) + 0$

خطوة 1.5.5.4.2.1.2.1.5.2

اضرب $λ$ في $λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (0 + (2 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} + 0 \cdot 1) + 0) + 0$

خطوة 1.5.5.4.2.1.2.1.6

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (0 + (2 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ + 1 λ^{2} + 0 \cdot 1) + 0) + 0$

خطوة 1.5.5.4.2.1.2.1.7

اضرب $λ^{2}$ في $1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (0 + (2 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ + λ^{2} + 0 \cdot 1) + 0) + 0$

خطوة 1.5.5.4.2.1.2.2

اطرح $2 λ$ من $- 2 λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (0 + (2 - λ) (4 - 4 λ + λ^{2} + 0 \cdot 1) + 0) + 0$

خطوة 1.5.5.4.2.1.3

اضرب $0$ في $1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (0 + (2 - λ) (4 - 4 λ + λ^{2} + 0) + 0) + 0$

خطوة 1.5.5.4.2.2

أضف $4 - 4 λ + λ^{2}$ و $0$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (0 + (2 - λ) (4 - 4 λ + λ^{2}) + 0) + 0$

خطوة 1.5.5.4.2.3

انقُل $4$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (0 + (2 - λ) (- 4 λ + λ^{2} + 4) + 0) + 0$

خطوة 1.5.5.4.2.4

أعِد ترتيب $- 4 λ$ و $λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (0 + (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4) + 0) + 0$

خطوة 1.5.5.5

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.5.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $0 + (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4) + 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.5.1.1

أضف $0$ و $(2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4)$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4) + 0) + 0$

خطوة 1.5.5.5.1.2

أضف $(2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4)$ و $0$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4)) + 0$

خطوة 1.5.5.5.2

وسّع $(2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (2 λ^{2} + 2 (- 4 λ) + 2 \cdot 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4) + 0$

خطوة 1.5.5.5.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.5.3.1

اضرب $- 4$ في $2$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (2 λ^{2} - 8 λ + 2 \cdot 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4) + 0$

خطوة 1.5.5.5.3.2

اضرب $2$ في $4$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (2 λ^{2} - 8 λ + 8 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4) + 0$

خطوة 1.5.5.5.3.3

اضرب $λ$ في $λ^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.5.3.3.1

انقُل $λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (2 λ^{2} - 8 λ + 8 - (λ^{2} λ) - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4) + 0$

خطوة 1.5.5.5.3.3.2

اضرب $λ^{2}$ في $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.5.3.3.2.1

ارفع $λ$ إلى القوة $1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (2 λ^{2} - 8 λ + 8 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4) + 0$

خطوة 1.5.5.5.3.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (2 λ^{2} - 8 λ + 8 - λ^{2 + 1} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4) + 0$

خطوة 1.5.5.5.3.3.3

أضف $2$ و $1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (2 λ^{2} - 8 λ + 8 - λ^{3} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4) + 0$

خطوة 1.5.5.5.3.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (2 λ^{2} - 8 λ + 8 - λ^{3} - 1 \cdot - 4 λ \cdot λ - λ \cdot 4) + 0$

خطوة 1.5.5.5.3.5

اضرب $λ$ في $λ$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.5.3.5.1

انقُل $λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (2 λ^{2} - 8 λ + 8 - λ^{3} - 1 \cdot - 4 (λ \cdot λ) - λ \cdot 4) + 0$

خطوة 1.5.5.5.3.5.2

اضرب $λ$ في $λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (2 λ^{2} - 8 λ + 8 - λ^{3} - 1 \cdot - 4 λ^{2} - λ \cdot 4) + 0$

خطوة 1.5.5.5.3.6

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (2 λ^{2} - 8 λ + 8 - λ^{3} + 4 λ^{2} - λ \cdot 4) + 0$

خطوة 1.5.5.5.3.7

اضرب $4$ في $- 1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (2 λ^{2} - 8 λ + 8 - λ^{3} + 4 λ^{2} - 4 λ) + 0$

خطوة 1.5.5.5.4

أضف $2 λ^{2}$ و $4 λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (6 λ^{2} - 8 λ + 8 - λ^{3} - 4 λ) + 0$

خطوة 1.5.5.5.5

اطرح $4 λ$ من $- 8 λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (6 λ^{2} - 12 λ + 8 - λ^{3}) + 0$

خطوة 1.5.5.5.6

انقُل $8$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (6 λ^{2} - 12 λ - λ^{3} + 8) + 0$

خطوة 1.5.5.5.7

انقُل $- 12 λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (6 λ^{2} - λ^{3} - 12 λ + 8) + 0$

خطوة 1.5.5.5.8

أعِد ترتيب $6 λ^{2}$ و $- λ^{3}$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 12 λ + 8) + 0$

خطوة 1.5.6

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.6.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $0 + 0 + (- 2 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 12 λ + 8) + 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.6.1.1

أضف $0$ و $0$ .

$p (λ) = 0 + (- 2 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 12 λ + 8) + 0$

خطوة 1.5.6.1.2

أضف $0$ و $(- 2 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 12 λ + 8)$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 12 λ + 8) + 0$

خطوة 1.5.6.1.3

أضف $(- 2 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 12 λ + 8)$ و $0$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 12 λ + 8)$

خطوة 1.5.6.2

وسّع $(- 2 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 12 λ + 8)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$p (λ) = - 2 (- λ^{3}) - 2 (6 λ^{2}) - 2 (- 12 λ) - 2 \cdot 8 - λ (- λ^{3}) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

خطوة 1.5.6.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.6.3.1

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 2 (6 λ^{2}) - 2 (- 12 λ) - 2 \cdot 8 - λ (- λ^{3}) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

خطوة 1.5.6.3.2

اضرب $6$ في $- 2$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 12 λ^{2} - 2 (- 12 λ) - 2 \cdot 8 - λ (- λ^{3}) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

خطوة 1.5.6.3.3

اضرب $- 12$ في $- 2$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 12 λ^{2} + 24 λ - 2 \cdot 8 - λ (- λ^{3}) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

خطوة 1.5.6.3.4

اضرب $- 2$ في $8$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 12 λ^{2} + 24 λ - 16 - λ (- λ^{3}) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

خطوة 1.5.6.3.5

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = 2 λ^{3} - 12 λ^{2} + 24 λ - 16 - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (6 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

خطوة 1.5.6.3.6

اضرب $λ$ في $λ^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.6.3.6.1

انقُل $λ^{3}$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 12 λ^{2} + 24 λ - 16 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

خطوة 1.5.6.3.6.2

اضرب $λ^{3}$ في $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.6.3.6.2.1

ارفع $λ$ إلى القوة $1$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 12 λ^{2} + 24 λ - 16 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

خطوة 1.5.6.3.6.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$p (λ) = 2 λ^{3} - 12 λ^{2} + 24 λ - 16 - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ (6 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

خطوة 1.5.6.3.6.3

أضف $3$ و $1$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 12 λ^{2} + 24 λ - 16 - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ (6 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

خطوة 1.5.6.3.7

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 12 λ^{2} + 24 λ - 16 + 1 λ^{4} - λ (6 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

خطوة 1.5.6.3.8

اضرب $λ^{4}$ في $1$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 12 λ^{2} + 24 λ - 16 + λ^{4} - λ (6 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

خطوة 1.5.6.3.9

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = 2 λ^{3} - 12 λ^{2} + 24 λ - 16 + λ^{4} - 1 \cdot 6 λ \cdot λ^{2} - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

خطوة 1.5.6.3.10

اضرب $λ$ في $λ^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.6.3.10.1

انقُل $λ^{2}$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 12 λ^{2} + 24 λ - 16 + λ^{4} - 1 \cdot 6 (λ^{2} λ) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

خطوة 1.5.6.3.10.2

اضرب $λ^{2}$ في $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.6.3.10.2.1

ارفع $λ$ إلى القوة $1$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 12 λ^{2} + 24 λ - 16 + λ^{4} - 1 \cdot 6 (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

خطوة 1.5.6.3.10.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$p (λ) = 2 λ^{3} - 12 λ^{2} + 24 λ - 16 + λ^{4} - 1 \cdot 6 λ^{2 + 1} - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

خطوة 1.5.6.3.10.3

أضف $2$ و $1$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 12 λ^{2} + 24 λ - 16 + λ^{4} - 1 \cdot 6 λ^{3} - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

خطوة 1.5.6.3.11

اضرب $- 1$ في $6$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 12 λ^{2} + 24 λ - 16 + λ^{4} - 6 λ^{3} - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

خطوة 1.5.6.3.12

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = 2 λ^{3} - 12 λ^{2} + 24 λ - 16 + λ^{4} - 6 λ^{3} - 1 \cdot - 12 λ \cdot λ - λ \cdot 8$

خطوة 1.5.6.3.13

اضرب $λ$ في $λ$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.6.3.13.1

انقُل $λ$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 12 λ^{2} + 24 λ - 16 + λ^{4} - 6 λ^{3} - 1 \cdot - 12 (λ \cdot λ) - λ \cdot 8$

خطوة 1.5.6.3.13.2

اضرب $λ$ في $λ$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 12 λ^{2} + 24 λ - 16 + λ^{4} - 6 λ^{3} - 1 \cdot - 12 λ^{2} - λ \cdot 8$

خطوة 1.5.6.3.14

اضرب $- 1$ في $- 12$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 12 λ^{2} + 24 λ - 16 + λ^{4} - 6 λ^{3} + 12 λ^{2} - λ \cdot 8$

خطوة 1.5.6.3.15

اضرب $8$ في $- 1$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 12 λ^{2} + 24 λ - 16 + λ^{4} - 6 λ^{3} + 12 λ^{2} - 8 λ$

خطوة 1.5.6.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 λ^{3} - 12 λ^{2} + 24 λ - 16 + λ^{4} - 6 λ^{3} + 12 λ^{2} - 8 λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.6.4.1

أضف $- 12 λ^{2}$ و $12 λ^{2}$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} + 24 λ - 16 + λ^{4} - 6 λ^{3} + 0 - 8 λ$

خطوة 1.5.6.4.2

أضف $2 λ^{3} + 24 λ - 16 + λ^{4} - 6 λ^{3}$ و $0$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} + 24 λ - 16 + λ^{4} - 6 λ^{3} - 8 λ$

خطوة 1.5.6.5

اطرح $6 λ^{3}$ من $2 λ^{3}$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 24 λ - 16 + λ^{4} - 8 λ$

خطوة 1.5.6.6

اطرح $8 λ$ من $24 λ$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 16 λ - 16 + λ^{4}$

خطوة 1.5.6.7

انقُل $- 16$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 16 λ + λ^{4} - 16$

خطوة 1.5.6.8

انقُل $16 λ$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + λ^{4} + 16 λ - 16$

خطوة 1.5.6.9

أعِد ترتيب $- 4 λ^{3}$ و $λ^{4}$ .

$p (λ) = λ^{4} - 4 λ^{3} + 16 λ - 16$

خطوة 1.6

عيّن قيمة متعدد الحدود المميز بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد القيم الذاتية $λ$ .

$λ^{4} - 4 λ^{3} + 16 λ - 16 = 0$

خطوة 1.7

أوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.1

حلّل $λ^{4} - 4 λ^{3} + 16 λ - 16$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.1.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1$

خطوة 1.7.1.1.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

خطوة 1.7.1.1.3

عوّض بـ $- 2$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $- 2$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.1.3.1

عوّض بـ $- 2$ في متعدد الحدود.

${(- 2)}^{4} - 4 {(- 2)}^{3} + 16 \cdot - 2 - 16$

خطوة 1.7.1.1.3.2

ارفع $- 2$ إلى القوة $4$ .

$16 - 4 {(- 2)}^{3} + 16 \cdot - 2 - 16$

خطوة 1.7.1.1.3.3

ارفع $- 2$ إلى القوة $3$ .

$16 - 4 \cdot - 8 + 16 \cdot - 2 - 16$

خطوة 1.7.1.1.3.4

اضرب $- 4$ في $- 8$ .

$16 + 32 + 16 \cdot - 2 - 16$

خطوة 1.7.1.1.3.5

أضف $16$ و $32$ .

$48 + 16 \cdot - 2 - 16$

خطوة 1.7.1.1.3.6

اضرب $16$ في $- 2$ .

$48 - 32 - 16$

خطوة 1.7.1.1.3.7

اطرح $32$ من $48$ .

$16 - 16$

خطوة 1.7.1.1.3.8

اطرح $16$ من $16$ .

$0$

خطوة 1.7.1.1.4

بما أن $- 2$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $λ + 2$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{λ^{4} - 4 λ^{3} + 16 λ - 16}{λ + 2}$

خطوة 1.7.1.1.5

اقسِم $λ^{4} - 4 λ^{3} + 16 λ - 16$ على $λ + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.1.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$4 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$16 λ$

$16$

خطوة 1.7.1.1.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $λ^{4}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $λ$ .

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$4 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$16 λ$

$16$

خطوة 1.7.1.1.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$4 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$16 λ$

$16$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

خطوة 1.7.1.1.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $λ^{4} + 2 λ^{3}$

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$4 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$16 λ$

$16$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

خطوة 1.7.1.1.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$4 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$16 λ$

$16$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$6 λ^{3}$

خطوة 1.7.1.1.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$4 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$16 λ$

$16$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

خطوة 1.7.1.1.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 6 λ^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $λ$ .

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$4 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$16 λ$

$16$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

خطوة 1.7.1.1.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$4 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$16 λ$

$16$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$12 λ^{2}$

خطوة 1.7.1.1.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 6 λ^{3} - 12 λ^{2}$

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$4 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$16 λ$

$16$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$12 λ^{2}$

خطوة 1.7.1.1.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$4 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$16 λ$

$16$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$12 λ^{2}$

خطوة 1.7.1.1.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$4 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$16 λ$

$16$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$16 λ$

خطوة 1.7.1.1.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $12 λ^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $λ$ .

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$12 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$4 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$16 λ$

$16$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$16 λ$

خطوة 1.7.1.1.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$12 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$4 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$16 λ$

$16$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$16 λ$

$12 λ^{2}$

$24 λ$

خطوة 1.7.1.1.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $12 λ^{2} + 24 λ$

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$12 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$4 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$16 λ$

$16$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$16 λ$

$12 λ^{2}$

$24 λ$

خطوة 1.7.1.1.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$12 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$4 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$16 λ$

$16$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$16 λ$

$12 λ^{2}$

$24 λ$

$8 λ$

خطوة 1.7.1.1.5.16

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$12 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$4 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$16 λ$

$16$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$16 λ$

$12 λ^{2}$

$24 λ$

$8 λ$

$16$

خطوة 1.7.1.1.5.17

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 8 λ$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $λ$ .

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$12 λ$

$8$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$4 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$16 λ$

$16$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$16 λ$

$12 λ^{2}$

$24 λ$

$8 λ$

$16$

خطوة 1.7.1.1.5.18

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$12 λ$

$8$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$4 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$16 λ$

$16$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$16 λ$

$12 λ^{2}$

$24 λ$

$8 λ$

$16$

$8 λ$

$16$

خطوة 1.7.1.1.5.19

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 8 λ - 16$

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$12 λ$

$8$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$4 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$16 λ$

$16$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$16 λ$

$12 λ^{2}$

$24 λ$

$8 λ$

$16$

$8 λ$

$16$

خطوة 1.7.1.1.5.20

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$12 λ$

$8$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$4 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$16 λ$

$16$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$16 λ$

$12 λ^{2}$

$24 λ$

$8 λ$

$16$

$8 λ$

$16$

$0$

خطوة 1.7.1.1.5.21

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$λ^{3} - 6 λ^{2} + 12 λ - 8$

خطوة 1.7.1.1.6

اكتب $λ^{4} - 4 λ^{3} + 16 λ - 16$ في صورة مجموعة من العوامل.

$(λ + 2) (λ^{3} - 6 λ^{2} + 12 λ - 8) = 0$

خطوة 1.7.1.2

حلّل $λ^{3} - 6 λ^{2} + 12 λ - 8$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.2.1

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

خطوة 1.7.1.2.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

خطوة 1.7.1.2.3

عوّض بـ $2$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $2$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.2.3.1

عوّض بـ $2$ في متعدد الحدود.

$2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8$

خطوة 1.7.1.2.3.2

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$8 - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8$

خطوة 1.7.1.2.3.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$8 - 6 \cdot 4 + 12 \cdot 2 - 8$

خطوة 1.7.1.2.3.4

اضرب $- 6$ في $4$ .

$8 - 24 + 12 \cdot 2 - 8$

خطوة 1.7.1.2.3.5

اطرح $24$ من $8$ .

$- 16 + 12 \cdot 2 - 8$

خطوة 1.7.1.2.3.6

اضرب $12$ في $2$ .

$- 16 + 24 - 8$

خطوة 1.7.1.2.3.7

أضف $- 16$ و $24$ .

$8 - 8$

خطوة 1.7.1.2.3.8

اطرح $8$ من $8$ .

$0$

خطوة 1.7.1.2.4

بما أن $2$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $λ - 2$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{λ^{3} - 6 λ^{2} + 12 λ - 8}{λ - 2}$

خطوة 1.7.1.2.5

اقسِم $λ^{3} - 6 λ^{2} + 12 λ - 8$ على $λ - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.2.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$λ$

$2$

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$12 λ$

$8$

خطوة 1.7.1.2.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $λ^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $λ$ .

					$λ^{2}$
	$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$12 λ$	-	$8$

خطوة 1.7.1.2.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$12 λ$	-	$8$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$

خطوة 1.7.1.2.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $λ^{3} - 2 λ^{2}$

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$12 λ$	-	$8$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$

خطوة 1.7.1.2.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$12 λ$	-	$8$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$

خطوة 1.7.1.2.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$12 λ$	-	$8$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$12 λ$

خطوة 1.7.1.2.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 4 λ^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $λ$ .

				$λ^{2}$	-	$4 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$12 λ$	-	$8$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$12 λ$

خطوة 1.7.1.2.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$λ^{2}$	-	$4 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$12 λ$	-	$8$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$12 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$8 λ$

خطوة 1.7.1.2.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 4 λ^{2} + 8 λ$

				$λ^{2}$	-	$4 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$12 λ$	-	$8$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$12 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$

خطوة 1.7.1.2.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$λ^{2}$	-	$4 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$12 λ$	-	$8$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$12 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
							+	$4 λ$

خطوة 1.7.1.2.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$λ^{2}$	-	$4 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$12 λ$	-	$8$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$12 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
							+	$4 λ$	-	$8$

خطوة 1.7.1.2.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $4 λ$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $λ$ .

				$λ^{2}$	-	$4 λ$	+	$4$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$12 λ$	-	$8$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$12 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
							+	$4 λ$	-	$8$

خطوة 1.7.1.2.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$λ^{2}$	-	$4 λ$	+	$4$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$12 λ$	-	$8$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$12 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
							+	$4 λ$	-	$8$
							+	$4 λ$	-	$8$

خطوة 1.7.1.2.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $4 λ - 8$

				$λ^{2}$	-	$4 λ$	+	$4$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$12 λ$	-	$8$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$12 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
							+	$4 λ$	-	$8$
							-	$4 λ$	+	$8$

خطوة 1.7.1.2.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$λ^{2}$	-	$4 λ$	+	$4$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$12 λ$	-	$8$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$12 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
							+	$4 λ$	-	$8$
							-	$4 λ$	+	$8$
										$0$

خطوة 1.7.1.2.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$λ^{2} - 4 λ + 4$

خطوة 1.7.1.2.6

اكتب $λ^{3} - 6 λ^{2} + 12 λ - 8$ في صورة مجموعة من العوامل.

$(λ + 2) ((λ - 2) (λ^{2} - 4 λ + 4)) = 0$

خطوة 1.7.1.3

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.3.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$(λ + 2) ((λ - 2) (λ^{2} - 4 λ + 2^{2})) = 0$

خطوة 1.7.1.3.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$4 λ = 2 \cdot λ \cdot 2$

خطوة 1.7.1.3.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$(λ + 2) ((λ - 2) (λ^{2} - 2 \cdot λ \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

خطوة 1.7.1.3.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ، حيث $a = λ$ و $b = 2$ .

$(λ + 2) ((λ - 2) {(λ - 2)}^{2}) = 0$

خطوة 1.7.1.4

جمّع العوامل المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.4.1

ارفع $λ - 2$ إلى القوة $1$ .

$(λ + 2) ((λ - 2) {(λ - 2)}^{2}) = 0$

خطوة 1.7.1.4.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$(λ + 2) {(λ - 2)}^{1 + 2} = 0$

خطوة 1.7.1.4.3

أضف $1$ و $2$ .

$(λ + 2) {(λ - 2)}^{3} = 0$

خطوة 1.7.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$λ + 2 = 0$

${(λ - 2)}^{3} = 0$

خطوة 1.7.3

عيّن قيمة العبارة $λ + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.1

عيّن قيمة $λ + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$λ + 2 = 0$

خطوة 1.7.3.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$λ = - 2$

خطوة 1.7.4

عيّن قيمة العبارة ${(λ - 2)}^{3}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.1

عيّن قيمة ${(λ - 2)}^{3}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

${(λ - 2)}^{3} = 0$

خطوة 1.7.4.2

أوجِد قيمة $λ$ في ${(λ - 2)}^{3} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.2.1

عيّن قيمة $λ - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$λ - 2 = 0$

خطوة 1.7.4.2.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$λ = 2$

خطوة 1.7.5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(λ + 2) {(λ - 2)}^{3} = 0$ صحيحة.

$λ = - 2, 2$

خطوة 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{4})$

خطوة 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.

$N ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

اضرب $2$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.1

اضرب $2$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.2

اضرب $2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.3

اضرب $2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.4

اضرب $2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.5

اضرب $2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.6

اضرب $2$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.7

اضرب $2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.8

اضرب $2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.9

اضرب $2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.10

اضرب $2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.11

اضرب $2$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.12

اضرب $2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.13

اضرب $2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.14

اضرب $2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.15

اضرب $2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.16

اضرب $2$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}]$

خطوة 3.2.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$[\begin{array}{c} 2 + 2 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 2 + 2 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & - 2 + 2 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 + 2 \end{array}]$

خطوة 3.2.3

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

أضف $2$ و $2$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 2 + 2 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & - 2 + 2 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 + 2 \end{array}]$

خطوة 3.2.3.2

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 2 + 2 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & - 2 + 2 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 + 2 \end{array}]$

خطوة 3.2.3.3

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 2 + 2 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & - 2 + 2 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 + 2 \end{array}]$

خطوة 3.2.3.4

أضف $1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 0 & 1 \\ 1 + 0 & 2 + 2 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & - 2 + 2 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 + 2 \end{array}]$

خطوة 3.2.3.5

أضف $1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 + 2 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & - 2 + 2 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 + 2 \end{array}]$

خطوة 3.2.3.6

أضف $2$ و $2$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & - 2 + 2 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 + 2 \end{array}]$

خطوة 3.2.3.7

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & - 2 + 2 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 + 2 \end{array}]$

خطوة 3.2.3.8

أضف $- 1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 0 & - 1 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & - 2 + 2 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 + 2 \end{array}]$

خطوة 3.2.3.9

أضف $1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 + 0 & - 2 + 2 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 + 2 \end{array}]$

خطوة 3.2.3.10

أضف $5$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 + 2 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 + 2 \end{array}]$

خطوة 3.2.3.11

أضف $- 2$ و $2$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 0 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 + 2 \end{array}]$

خطوة 3.2.3.12

أضف $- 1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 0 & - 1 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 + 2 \end{array}]$

خطوة 3.2.3.13

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 + 2 \end{array}]$

خطوة 3.2.3.14

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 + 0 & 2 + 2 \end{array}]$

خطوة 3.2.3.15

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 + 2 \end{array}]$

خطوة 3.2.3.16

أضف $2$ و $2$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}]$

خطوة 3.3

Find the null space when $λ = - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 4 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 5 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{4}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{4}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{4}{4} & \frac{0}{4} & \frac{0}{4} & \frac{1}{4} & \frac{0}{4} \\ 1 & 4 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 5 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.1.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 1 & 4 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 5 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 1 - 1 & 4 - 0 & 0 - 0 & - 1 - \frac{1}{4} & 0 - 0 \\ 1 & 5 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.2.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 4 & 0 & - \frac{5}{4} & 0 \\ 1 & 5 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 4 & 0 & - \frac{5}{4} & 0 \\ 1 - 1 & 5 - 0 & 0 - 0 & - 1 - \frac{1}{4} & 0 - 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.3.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 4 & 0 & - \frac{5}{4} & 0 \\ 0 & 5 & 0 & - \frac{5}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{4}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{4}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ \frac{0}{4} & \frac{4}{4} & \frac{0}{4} & \frac{- \frac{5}{4}}{4} & \frac{0}{4} \\ 0 & 5 & 0 & - \frac{5}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.4.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{5}{16} & 0 \\ 0 & 5 & 0 & - \frac{5}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 5 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 5 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{5}{16} & 0 \\ 0 - 5 \cdot 0 & 5 - 5 \cdot 1 & 0 - 5 \cdot 0 & - \frac{5}{4} - 5 (- \frac{5}{16}) & 0 - 5 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.5.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{5}{16} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{5}{16} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.6

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{16}{5}$ to make the entry at $3, 4$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.6.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{16}{5}$ to make the entry at $3, 4$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{5}{16} & 0 \\ \frac{16}{5} \cdot 0 & \frac{16}{5} \cdot 0 & \frac{16}{5} \cdot 0 & \frac{16}{5} \cdot \frac{5}{16} & \frac{16}{5} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.6.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{5}{16} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.7

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - 4 R_{3}$ to make the entry at $4, 4$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.7.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - 4 R_{3}$ to make the entry at $4, 4$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{5}{16} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 - 4 \cdot 0 & 0 - 4 \cdot 0 & 0 - 4 \cdot 0 & 4 - 4 \cdot 1 & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.7.2

بسّط $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{5}{16} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.8

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + \frac{5}{16} R_{3}$ to make the entry at $2, 4$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.8.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + \frac{5}{16} R_{3}$ to make the entry at $2, 4$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 + \frac{5}{16} \cdot 0 & 1 + \frac{5}{16} \cdot 0 & 0 + \frac{5}{16} \cdot 0 & - \frac{5}{16} + \frac{5}{16} \cdot 1 & 0 + \frac{5}{16} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.8.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.9

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{4} R_{3}$ to make the entry at $1, 4$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.9.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{4} R_{3}$ to make the entry at $1, 4$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{4} \cdot 0 & 0 - \frac{1}{4} \cdot 0 & 0 - \frac{1}{4} \cdot 0 & \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{4} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.9.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x_{1} = 0$

$x_{2} = 0$

$x_{4} = 0$

$0 = 0$

خطوة 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ x_{3} \\ 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = x_{3} [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.6

Write as a solution set.

${x_{3} [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}] | x_{3} \in R}$

خطوة 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$

خطوة 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.

$N ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] - 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

اضرب $- 2$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.2.1

اضرب $- 2$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.2

اضرب $- 2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.3

اضرب $- 2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.4

اضرب $- 2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.5

اضرب $- 2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.6

اضرب $- 2$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.7

اضرب $- 2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.8

اضرب $- 2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.9

اضرب $- 2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.10

اضرب $- 2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.11

اضرب $- 2$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.12

اضرب $- 2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.13

اضرب $- 2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.14

اضرب $- 2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.15

اضرب $- 2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.16

اضرب $- 2$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$[\begin{array}{c} 2 - 2 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & - 2 - 2 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.3

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

اطرح $2$ من $2$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & - 2 - 2 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.2

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & - 2 - 2 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.3

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & - 2 - 2 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.4

أضف $1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & - 2 - 2 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.5

أضف $1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 - 2 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & - 2 - 2 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.6

اطرح $2$ من $2$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & - 2 - 2 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.7

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & - 2 - 2 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.8

أضف $- 1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & - 2 - 2 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.9

أضف $1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 + 0 & - 2 - 2 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.10

أضف $5$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 2 - 2 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.11

اطرح $2$ من $- 2$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 4 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.12

أضف $- 1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 4 & - 1 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.13

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 4 & - 1 \\ 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.14

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.15

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 - 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.16

اطرح $2$ من $2$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & - 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3

Find the null space when $λ = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 5 & - 4 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

Swap $R_{2}$ with $R_{1}$ to put a nonzero entry at $1, 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 5 & - 4 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 - 1 & 5 - 0 & - 4 - 0 & - 1 + 1 & 0 - 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.2.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & - 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.3

Swap $R_{3}$ with $R_{2}$ to put a nonzero entry at $2, 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 5 & - 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ \frac{0}{5} & \frac{5}{5} & \frac{- 4}{5} & \frac{0}{5} & \frac{0}{5} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.4.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{4}{5} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.5

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{3}$ to make the entry at $1, 4$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{3}$ to make the entry at $1, 4$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & - \frac{4}{5} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.5.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{4}{5} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x_{1} = 0$

$x_{2} - \frac{4}{5} x_{3} = 0$

$x_{4} = 0$

$0 = 0$

خطوة 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ \frac{4 x_{3}}{5} \\ x_{3} \\ 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = x_{3} [\begin{array}{c} 0 \\ \frac{4}{5} \\ 1 \\ 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.6

Write as a solution set.

${x_{3} [\begin{array}{c} 0 \\ \frac{4}{5} \\ 1 \\ 0 \end{array}] | x_{3} \in R}$

خطوة 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 0 \\ \frac{4}{5} \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$

خطوة 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ \frac{4}{5} \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$