الجبر الخطي الأمثلة

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}]$

خطوة 1

أوجِد القيم الذاتية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن الصيغة لإيجاد المعادلة المميزة $p (λ)$ .

$p (λ) = محدِّد (A - λ I_{3})$

خطوة 1.2

المصفوفة المتطابقة أو مصفوفة الوحدة ذات الحجم $3$ هي المصفوفة المربعة $3 \times 3$ التي تكون فيها جميع العناصر الواقعة على القطر الرئيسي مساوية لواحد بينما تكون جميع عناصرها في أي مكان آخر مساوية لصفر.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 1.3

عوّض بالقيم المعروفة في $p (λ) = محدِّد (A - λ I_{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $A$ التي تساوي $[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] - λ I_{3})$

خطوة 1.3.2

عوّض بقيمة $I_{3}$ التي تساوي $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

اضرب $- λ$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.2

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.2.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.2.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.3

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.3.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.3.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.4

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.4.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.4.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.6

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.6.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.6.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.7

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.7.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.7.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.8

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.8.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.8.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.9

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

خطوة 1.4.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} - 2 - λ & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1

أضف $3$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} - 2 - λ & 3 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.2

أضف $0$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} - 2 - λ & 3 & 0 \\ 3 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.3

أضف $3$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} - 2 - λ & 3 & 0 \\ 3 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.4

اطرح $λ$ من $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} - 2 - λ & 3 & 0 \\ 3 & - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.5

أضف $1$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} - 2 - λ & 3 & 0 \\ 3 & - λ & 1 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.6

أضف $1$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} - 2 - λ & 3 & 0 \\ 3 & - λ & 1 \\ 1 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.7

أضف $1$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} - 2 - λ & 3 & 0 \\ 3 & - λ & 1 \\ 1 & 1 & 2 - λ \end{array}]$

خطوة 1.5

Find the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

خطوة 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

خطوة 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - λ & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(- 2 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

خطوة 1.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 & - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

خطوة 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (- 2 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

خطوة 1.5.2

اضرب $0$ في $| \begin{array}{c} 3 & - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 0$

خطوة 1.5.3

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} - λ & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ (2 - λ) - 1 \cdot 1) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 0$

خطوة 1.5.3.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ \cdot 2 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 0$

خطوة 1.5.3.2.1.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 2 λ - λ (- λ) - 1 \cdot 1) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 0$

خطوة 1.5.3.2.1.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 \cdot 1) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 0$

خطوة 1.5.3.2.1.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1.4.1

اضرب $λ$ في $λ$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1.4.1.1

انقُل $λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 \cdot 1) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 0$

خطوة 1.5.3.2.1.4.1.2

اضرب $λ$ في $λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 \cdot 1) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 0$

خطوة 1.5.3.2.1.4.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 2 λ + 1 λ^{2} - 1 \cdot 1) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 0$

خطوة 1.5.3.2.1.4.3

اضرب $λ^{2}$ في $1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 2 λ + λ^{2} - 1 \cdot 1) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 0$

خطوة 1.5.3.2.1.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 2 λ + λ^{2} - 1) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 0$

خطوة 1.5.3.2.2

أعِد ترتيب $- 2 λ$ و $λ^{2}$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 1) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 0$

خطوة 1.5.4

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 1) - 3 (3 (2 - λ) - 1 \cdot 1) + 0$

خطوة 1.5.4.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 1) - 3 (3 \cdot 2 + 3 (- λ) - 1 \cdot 1) + 0$

خطوة 1.5.4.2.1.2

اضرب $3$ في $2$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 1) - 3 (6 + 3 (- λ) - 1 \cdot 1) + 0$

خطوة 1.5.4.2.1.3

اضرب $- 1$ في $3$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 1) - 3 (6 - 3 λ - 1 \cdot 1) + 0$

خطوة 1.5.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 1) - 3 (6 - 3 λ - 1) + 0$

خطوة 1.5.4.2.2

اطرح $1$ من $6$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 1) - 3 (- 3 λ + 5) + 0$

خطوة 1.5.5

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.1

أضف $(- 2 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 1) - 3 (- 3 λ + 5)$ و $0$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 1) - 3 (- 3 λ + 5)$

خطوة 1.5.5.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.2.1

وسّع $(- 2 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 1)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 2 (- 2 λ) - 2 \cdot - 1 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 1 - 3 (- 3 λ + 5)$

خطوة 1.5.5.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.2.2.1

اضرب $- 2$ في $- 2$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ - 2 \cdot - 1 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 1 - 3 (- 3 λ + 5)$

خطوة 1.5.5.2.2.2

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 2 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 1 - 3 (- 3 λ + 5)$

خطوة 1.5.5.2.2.3

اضرب $λ$ في $λ^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.2.2.3.1

انقُل $λ^{2}$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 2 - (λ^{2} λ) - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 1 - 3 (- 3 λ + 5)$

خطوة 1.5.5.2.2.3.2

اضرب $λ^{2}$ في $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.2.2.3.2.1

ارفع $λ$ إلى القوة $1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 2 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 1 - 3 (- 3 λ + 5)$

خطوة 1.5.5.2.2.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 2 - λ^{2 + 1} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 1 - 3 (- 3 λ + 5)$

خطوة 1.5.5.2.2.3.3

أضف $2$ و $1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 2 - λ^{3} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 1 - 3 (- 3 λ + 5)$

خطوة 1.5.5.2.2.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 2 - λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ \cdot λ - λ \cdot - 1 - 3 (- 3 λ + 5)$

خطوة 1.5.5.2.2.5

اضرب $λ$ في $λ$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.2.2.5.1

انقُل $λ$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 2 - λ^{3} - 1 \cdot - 2 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 1 - 3 (- 3 λ + 5)$

خطوة 1.5.5.2.2.5.2

اضرب $λ$ في $λ$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 2 - λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ^{2} - λ \cdot - 1 - 3 (- 3 λ + 5)$

خطوة 1.5.5.2.2.6

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 2 - λ^{3} + 2 λ^{2} - λ \cdot - 1 - 3 (- 3 λ + 5)$

خطوة 1.5.5.2.2.7

اضرب $- λ \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.2.2.7.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 2 - λ^{3} + 2 λ^{2} + 1 λ - 3 (- 3 λ + 5)$

خطوة 1.5.5.2.2.7.2

اضرب $λ$ في $1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 2 - λ^{3} + 2 λ^{2} + λ - 3 (- 3 λ + 5)$

خطوة 1.5.5.2.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $- 2 λ^{2} + 4 λ + 2 - λ^{3} + 2 λ^{2} + λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.2.3.1

أضف $- 2 λ^{2}$ و $2 λ^{2}$ .

$p (λ) = 4 λ + 2 - λ^{3} + 0 + λ - 3 (- 3 λ + 5)$

خطوة 1.5.5.2.3.2

أضف $4 λ + 2 - λ^{3}$ و $0$ .

$p (λ) = 4 λ + 2 - λ^{3} + λ - 3 (- 3 λ + 5)$

خطوة 1.5.5.2.4

أضف $4 λ$ و $λ$ .

$p (λ) = 5 λ + 2 - λ^{3} - 3 (- 3 λ + 5)$

خطوة 1.5.5.2.5

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 5 λ + 2 - λ^{3} - 3 (- 3 λ) - 3 \cdot 5$

خطوة 1.5.5.2.6

اضرب $- 3$ في $- 3$ .

$p (λ) = 5 λ + 2 - λ^{3} + 9 λ - 3 \cdot 5$

خطوة 1.5.5.2.7

اضرب $- 3$ في $5$ .

$p (λ) = 5 λ + 2 - λ^{3} + 9 λ - 15$

خطوة 1.5.5.3

أضف $5 λ$ و $9 λ$ .

$p (λ) = 14 λ + 2 - λ^{3} - 15$

خطوة 1.5.5.4

اطرح $15$ من $2$ .

$p (λ) = 14 λ - λ^{3} - 13$

خطوة 1.5.5.5

أعِد ترتيب $14 λ$ و $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 14 λ - 13$

خطوة 1.6

عيّن قيمة متعدد الحدود المميز بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد القيم الذاتية $λ$ .

$- λ^{3} + 14 λ - 13 = 0$

خطوة 1.7

أوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- λ^{3} + 14 λ - 13$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.1.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- λ^{3}$ .

$- (λ^{3}) + 14 λ - 13 = 0$

خطوة 1.7.1.1.2

أخرِج العامل $- 1$ من $14 λ$ .

$- (λ^{3}) - (- 14 λ) - 13 = 0$

خطوة 1.7.1.1.3

أعِد كتابة $- 13$ بالصيغة $- 1 (13)$ .

$- (λ^{3}) - (- 14 λ) - 1 \cdot 13 = 0$

خطوة 1.7.1.1.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- (λ^{3}) - (- 14 λ)$ .

$- (λ^{3} - 14 λ) - 1 \cdot 13 = 0$

خطوة 1.7.1.1.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (λ^{3} - 14 λ) - 1 (13)$ .

$- (λ^{3} - 14 λ + 13) = 0$

خطوة 1.7.1.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.2.1

حلّل $λ^{3} - 14 λ + 13$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.2.1.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 13$

$q = \pm 1$

خطوة 1.7.1.2.1.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 13$

خطوة 1.7.1.2.1.3

عوّض بـ $1$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $1$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.2.1.3.1

عوّض بـ $1$ في متعدد الحدود.

$1^{3} - 14 \cdot 1 + 13$

خطوة 1.7.1.2.1.3.2

ارفع $1$ إلى القوة $3$ .

$1 - 14 \cdot 1 + 13$

خطوة 1.7.1.2.1.3.3

اضرب $- 14$ في $1$ .

$1 - 14 + 13$

خطوة 1.7.1.2.1.3.4

اطرح $14$ من $1$ .

$- 13 + 13$

خطوة 1.7.1.2.1.3.5

أضف $- 13$ و $13$ .

$0$

خطوة 1.7.1.2.1.4

بما أن $1$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $λ - 1$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{λ^{3} - 14 λ + 13}{λ - 1}$

خطوة 1.7.1.2.1.5

اقسِم $λ^{3} - 14 λ + 13$ على $λ - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.2.1.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$λ$

$1$

$λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$14 λ$

$13$

خطوة 1.7.1.2.1.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $λ^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $λ$ .

					$λ^{2}$
	$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$

خطوة 1.7.1.2.1.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$

خطوة 1.7.1.2.1.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $λ^{3} - λ^{2}$

				$λ^{2}$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$

خطوة 1.7.1.2.1.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$λ^{2}$

خطوة 1.7.1.2.1.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	-	$14 λ$

خطوة 1.7.1.2.1.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $λ^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $λ$ .

				$λ^{2}$	+	$λ$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	-	$14 λ$

خطوة 1.7.1.2.1.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$λ^{2}$	+	$λ$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	-	$14 λ$
					+	$λ^{2}$	-	$λ$

خطوة 1.7.1.2.1.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $λ^{2} - λ$

				$λ^{2}$	+	$λ$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	-	$14 λ$
					-	$λ^{2}$	+	$λ$

خطوة 1.7.1.2.1.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$λ^{2}$	+	$λ$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	-	$14 λ$
					-	$λ^{2}$	+	$λ$
							-	$13 λ$

خطوة 1.7.1.2.1.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$λ^{2}$	+	$λ$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	-	$14 λ$
					-	$λ^{2}$	+	$λ$
							-	$13 λ$	+	$13$

خطوة 1.7.1.2.1.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 13 λ$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $λ$ .

				$λ^{2}$	+	$λ$	-	$13$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	-	$14 λ$
					-	$λ^{2}$	+	$λ$
							-	$13 λ$	+	$13$

خطوة 1.7.1.2.1.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$λ^{2}$	+	$λ$	-	$13$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	-	$14 λ$
					-	$λ^{2}$	+	$λ$
							-	$13 λ$	+	$13$
							-	$13 λ$	+	$13$

خطوة 1.7.1.2.1.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 13 λ + 13$

				$λ^{2}$	+	$λ$	-	$13$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	-	$14 λ$
					-	$λ^{2}$	+	$λ$
							-	$13 λ$	+	$13$
							+	$13 λ$	-	$13$

خطوة 1.7.1.2.1.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$λ^{2}$	+	$λ$	-	$13$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	-	$14 λ$
					-	$λ^{2}$	+	$λ$
							-	$13 λ$	+	$13$
							+	$13 λ$	-	$13$
										$0$

خطوة 1.7.1.2.1.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$λ^{2} + λ - 13$

خطوة 1.7.1.2.1.6

اكتب $λ^{3} - 14 λ + 13$ في صورة مجموعة من العوامل.

$- ((λ - 1) (λ^{2} + λ - 13)) = 0$

خطوة 1.7.1.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$- (λ - 1) (λ^{2} + λ - 13) = 0$

خطوة 1.7.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$λ - 1 = 0$

$λ^{2} + λ - 13 = 0$

خطوة 1.7.3

عيّن قيمة العبارة $λ - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.1

عيّن قيمة $λ - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$λ - 1 = 0$

خطوة 1.7.3.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$λ = 1$

خطوة 1.7.4

عيّن قيمة العبارة $λ^{2} + λ - 13$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.1

عيّن قيمة $λ^{2} + λ - 13$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$λ^{2} + λ - 13 = 0$

خطوة 1.7.4.2

أوجِد قيمة $λ$ في $λ^{2} + λ - 13 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.2.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 1.7.4.2.2

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = 1$ و $c = - 13$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $λ$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 13)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.7.4.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.2.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.2.3.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$λ = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 13}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.7.4.2.3.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot - 13$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.2.3.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$λ = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 13}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.7.4.2.3.1.2.2

اضرب $- 4$ في $- 13$ .

$λ = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 52}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.7.4.2.3.1.3

أضف $1$ و $52$ .

$λ = \frac{- 1 \pm \sqrt{53}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.7.4.2.3.2

اضرب $2$ في $1$ .

$λ = \frac{- 1 \pm \sqrt{53}}{2}$

خطوة 1.7.4.2.4

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$λ = - \frac{1 - \sqrt{53}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{53}}{2}$

خطوة 1.7.5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- (λ - 1) (λ^{2} + λ - 13) = 0$ صحيحة.

$λ = 1, - \frac{1 - \sqrt{53}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{53}}{2}$

خطوة 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

خطوة 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.

$N ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اطرح العناصر المتناظرة.

$[\begin{array}{c} - 2 - 1 & 3 - 0 & 0 - 0 \\ 3 - 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 1 - 0 & 1 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.2

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

اطرح $1$ من $- 2$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 3 - 0 & 0 - 0 \\ 3 - 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 1 - 0 & 1 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2

اطرح $0$ من $3$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 3 & 0 - 0 \\ 3 - 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 1 - 0 & 1 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.3

اطرح $0$ من $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 3 & 0 \\ 3 - 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 1 - 0 & 1 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.4

اطرح $0$ من $3$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 3 & 0 \\ 3 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 1 - 0 & 1 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.5

اطرح $1$ من $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 3 & 0 \\ 3 & - 1 & 1 - 0 \\ 1 - 0 & 1 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.6

اطرح $0$ من $1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 3 & 0 \\ 3 & - 1 & 1 \\ 1 - 0 & 1 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.7

اطرح $0$ من $1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 3 & 0 \\ 3 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.8

اطرح $0$ من $1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 3 & 0 \\ 3 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 - 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.9

اطرح $1$ من $2$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 3 & 0 \\ 3 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$

خطوة 3.3

Find the null space when $λ = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 3 & 0 & 0 \\ 3 & - 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 3 & - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot 0 \\ 3 & - 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.1.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 3 & - 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 1 - 3 \cdot - 1 & 1 - 3 \cdot 0 & 0 - 3 \cdot 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.2.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 1 - 1 & 1 + 1 & 1 - 0 & 0 - 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.3.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{1}{2} & \frac{0}{2} \\ 0 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.4.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 (\frac{1}{2}) & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.5.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + \frac{1}{2} & 0 + 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.6.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{1}{2} z = 0$

$y + \frac{1}{2} z = 0$

$0 = 0$

خطوة 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{z}{2} \\ - \frac{z}{2} \\ z \end{array}]$

خطوة 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]$

خطوة 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

خطوة 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]}$

خطوة 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - \frac{1 - \sqrt{53}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.

$N ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

اضرب $\frac{1 - \sqrt{53}}{2}$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.2.1

اضرب $\frac{1 - \sqrt{53}}{2}$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.2

اضرب $\frac{1 - \sqrt{53}}{2}$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.3

اضرب $\frac{1 - \sqrt{53}}{2}$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 0 & 0 \\ \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.4

اضرب $\frac{1 - \sqrt{53}}{2}$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.5

اضرب $\frac{1 - \sqrt{53}}{2}$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.6

اضرب $\frac{1 - \sqrt{53}}{2}$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 0 \\ \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.7

اضرب $\frac{1 - \sqrt{53}}{2}$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.8

اضرب $\frac{1 - \sqrt{53}}{2}$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.9

اضرب $\frac{1 - \sqrt{53}}{2}$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$[\begin{array}{c} - 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

لكتابة $- 2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - 2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.2

اجمع $- 2$ و $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$[\begin{array}{c} \frac{- 2 \cdot 2 + 1 - \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.4.1

اضرب $- 2$ في $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 4 + 1 - \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.4.2

أضف $- 4$ و $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 3 - \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.5

أعِد كتابة $- 3$ بالصيغة $- 1 (3)$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3) - \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- \sqrt{53}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3) - (\sqrt{53})}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (3) - (\sqrt{53})$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3 + \sqrt{53})}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.9

أضف $3$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.10

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.11

أضف $3$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & 0 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.12

اطرح $- \frac{1 - \sqrt{53}}{2}$ من $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.13

أضف $1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.14

أضف $1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.15

أضف $1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 & 1 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.16

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 & 1 & 2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.17

اجمع $2$ و $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 & 1 & \frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.18

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 & 1 & \frac{2 \cdot 2 + 1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.19

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.19.1

اضرب $2$ في $2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 & 1 & \frac{4 + 1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.19.2

أضف $4$ و $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 & 1 & \frac{5 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.3

Find the null space when $λ = - \frac{1 - \sqrt{53}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 & 0 \\ 3 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 & 0 \\ 1 & 1 & \frac{5 - \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{2}{3 + \sqrt{53}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{2}{3 + \sqrt{53}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3 + \sqrt{53}} (- \frac{3 + \sqrt{53}}{2}) & - \frac{2}{3 + \sqrt{53}} \cdot 3 & - \frac{2}{3 + \sqrt{53}} \cdot 0 & - \frac{2}{3 + \sqrt{53}} \cdot 0 \\ 3 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 & 0 \\ 1 & 1 & \frac{5 - \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.1.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 3 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 & 0 \\ 1 & 1 & \frac{5 - \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} - 3 \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} & 1 - 3 \cdot 0 & 0 - 3 \cdot 0 \\ 1 & 1 & \frac{5 - \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.2.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{8 + \sqrt{53}}{11} & 1 & 0 \\ 1 & 1 & \frac{5 - \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{8 + \sqrt{53}}{11} & 1 & 0 \\ 1 - 1 & 1 - \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} & \frac{5 - \sqrt{53}}{2} - 0 & 0 - 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.3.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{8 + \sqrt{53}}{11} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{13 + 3 \sqrt{53}}{22} & \frac{5 - \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{11}{8 + \sqrt{53}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{11}{8 + \sqrt{53}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ - \frac{11}{8 + \sqrt{53}} \cdot 0 & - \frac{11}{8 + \sqrt{53}} (- \frac{8 + \sqrt{53}}{11}) & - \frac{11}{8 + \sqrt{53}} \cdot 1 & - \frac{11}{8 + \sqrt{53}} \cdot 0 \\ 0 & \frac{13 + 3 \sqrt{53}}{22} & \frac{5 - \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.4.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 8 + \sqrt{53} & 0 \\ 0 & \frac{13 + 3 \sqrt{53}}{22} & \frac{5 - \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{13 + 3 \sqrt{53}}{22} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{13 + 3 \sqrt{53}}{22} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 8 + \sqrt{53} & 0 \\ 0 - \frac{13 + 3 \sqrt{53}}{22} \cdot 0 & \frac{13 + 3 \sqrt{53}}{22} - \frac{13 + 3 \sqrt{53}}{22} \cdot 1 & \frac{5 - \sqrt{53}}{2} - \frac{13 + 3 \sqrt{53}}{22} (- 8 + \sqrt{53}) & 0 - \frac{13 + 3 \sqrt{53}}{22} \cdot 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.5.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 8 + \sqrt{53} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} \cdot 0 & \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} - \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} \cdot 1 & 0 - \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} (- 8 + \sqrt{53}) & 0 - \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} \cdot 0 \\ 0 & 1 & - 8 + \sqrt{53} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.6.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{21 - 3 \sqrt{53}}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 8 + \sqrt{53} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{21 - 3 \sqrt{53}}{2} z = 0$

$y + (- 8 + \sqrt{53}) z = 0$

$0 = 0$

خطوة 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{21 z}{2} + \frac{3 \sqrt{53} z}{2} \\ 8 z - \sqrt{53} z \\ z \end{array}]$

خطوة 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - \frac{21}{2} + \frac{3 \sqrt{53}}{2} \\ 8 - \sqrt{53} \\ 1 \end{array}]$

خطوة 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - \frac{21}{2} + \frac{3 \sqrt{53}}{2} \\ 8 - \sqrt{53} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

خطوة 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{21}{2} + \frac{3 \sqrt{53}}{2} \\ 8 - \sqrt{53} \\ 1 \end{array}]}$

خطوة 5

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - \frac{1 + \sqrt{53}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.

$N ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

اضرب $\frac{1 + \sqrt{53}}{2}$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 1 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 1 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.2.1

اضرب $\frac{1 + \sqrt{53}}{2}$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 1 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.2.2

اضرب $\frac{1 + \sqrt{53}}{2}$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 1 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.2.3

اضرب $\frac{1 + \sqrt{53}}{2}$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 0 & 0 \\ \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 1 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.2.4

اضرب $\frac{1 + \sqrt{53}}{2}$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 1 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.2.5

اضرب $\frac{1 + \sqrt{53}}{2}$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.2.6

اضرب $\frac{1 + \sqrt{53}}{2}$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 0 \\ \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.2.7

اضرب $\frac{1 + \sqrt{53}}{2}$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.2.8

اضرب $\frac{1 + \sqrt{53}}{2}$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.2.9

اضرب $\frac{1 + \sqrt{53}}{2}$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$[\begin{array}{c} - 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.3

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

لكتابة $- 2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - 2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.2

اجمع $- 2$ و $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$[\begin{array}{c} \frac{- 2 \cdot 2 + 1 + \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.4.1

اضرب $- 2$ في $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 4 + 1 + \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.4.2

أضف $- 4$ و $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 3 + \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.5

أعِد كتابة $- 3$ بالصيغة $- 1 (3)$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3) + \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.6

أخرِج العامل $- 1$ من $\sqrt{53}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3) - 1 (- \sqrt{53})}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (3) - 1 (- \sqrt{53})$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3 - \sqrt{53})}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.9

أضف $3$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.10

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.11

أضف $3$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & 0 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.12

أضف $0$ و $\frac{1 + \sqrt{53}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.13

أضف $1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.14

أضف $1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.15

أضف $1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 & 1 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.16

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 & 1 & 2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.17

اجمع $2$ و $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 & 1 & \frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.18

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 & 1 & \frac{2 \cdot 2 + 1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.19

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.19.1

اضرب $2$ في $2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 & 1 & \frac{4 + 1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.19.2

أضف $4$ و $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 & 1 & \frac{5 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.3

Find the null space when $λ = - \frac{1 + \sqrt{53}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 & 0 \\ 3 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 & 0 \\ 1 & 1 & \frac{5 + \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{2}{3 - \sqrt{53}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{2}{3 - \sqrt{53}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3 - \sqrt{53}} (- \frac{3 - \sqrt{53}}{2}) & - \frac{2}{3 - \sqrt{53}} \cdot 3 & - \frac{2}{3 - \sqrt{53}} \cdot 0 & - \frac{2}{3 - \sqrt{53}} \cdot 0 \\ 3 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 & 0 \\ 1 & 1 & \frac{5 + \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.1.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 3 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 & 0 \\ 1 & 1 & \frac{5 + \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} - 3 \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} & 1 - 3 \cdot 0 & 0 - 3 \cdot 0 \\ 1 & 1 & \frac{5 + \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.2.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{8 - \sqrt{53}}{11} & 1 & 0 \\ 1 & 1 & \frac{5 + \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{8 - \sqrt{53}}{11} & 1 & 0 \\ 1 - 1 & 1 - \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} & \frac{5 + \sqrt{53}}{2} - 0 & 0 - 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.3.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{8 - \sqrt{53}}{11} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{13 - 3 \sqrt{53}}{22} & \frac{5 + \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{11}{8 - \sqrt{53}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{11}{8 - \sqrt{53}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ - \frac{11}{8 - \sqrt{53}} \cdot 0 & - \frac{11}{8 - \sqrt{53}} (- \frac{8 - \sqrt{53}}{11}) & - \frac{11}{8 - \sqrt{53}} \cdot 1 & - \frac{11}{8 - \sqrt{53}} \cdot 0 \\ 0 & \frac{13 - 3 \sqrt{53}}{22} & \frac{5 + \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.4.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 8 - \sqrt{53} & 0 \\ 0 & \frac{13 - 3 \sqrt{53}}{22} & \frac{5 + \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{13 - 3 \sqrt{53}}{22} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{13 - 3 \sqrt{53}}{22} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 8 - \sqrt{53} & 0 \\ 0 - \frac{13 - 3 \sqrt{53}}{22} \cdot 0 & \frac{13 - 3 \sqrt{53}}{22} - \frac{13 - 3 \sqrt{53}}{22} \cdot 1 & \frac{5 + \sqrt{53}}{2} - \frac{13 - 3 \sqrt{53}}{22} (- 8 - \sqrt{53}) & 0 - \frac{13 - 3 \sqrt{53}}{22} \cdot 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.5.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 8 - \sqrt{53} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} \cdot 0 & \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} - \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} \cdot 1 & 0 - \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} (- 8 - \sqrt{53}) & 0 - \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} \cdot 0 \\ 0 & 1 & - 8 - \sqrt{53} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.6.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{21 + 3 \sqrt{53}}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 8 - \sqrt{53} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{21 + 3 \sqrt{53}}{2} z = 0$

$y + (- 8 - \sqrt{53}) z = 0$

$0 = 0$

خطوة 5.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{21 z}{2} - \frac{3 \sqrt{53} z}{2} \\ 8 z + \sqrt{53} z \\ z \end{array}]$

خطوة 5.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - \frac{21}{2} - \frac{3 \sqrt{53}}{2} \\ 8 + \sqrt{53} \\ 1 \end{array}]$

خطوة 5.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - \frac{21}{2} - \frac{3 \sqrt{53}}{2} \\ 8 + \sqrt{53} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

خطوة 5.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{21}{2} - \frac{3 \sqrt{53}}{2} \\ 8 + \sqrt{53} \\ 1 \end{array}]}$

خطوة 6

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{21}{2} + \frac{3 \sqrt{53}}{2} \\ 8 - \sqrt{53} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{21}{2} - \frac{3 \sqrt{53}}{2} \\ 8 + \sqrt{53} \\ 1 \end{array}]}$