الجبر الخطي الأمثلة

$\frac{2}{3} - \frac{i}{3}$

خطوة 1

هذه هي الصيغة المثلثية للعدد المركب وبها $| z |$ يمثل المقياس و $θ$ يمثل الزاوية الناشئة في المستوى العقدي.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

خطوة 2

مقياس العدد المركب يمثل طول المسافة بين العدد المركب ونقطة الأصل في المستوى المركب.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ حيث $z = a + b i$

خطوة 3

عوّض بالقيمتين الفعليتين لـ $a = \frac{2}{3}$ و $b = - \frac{1}{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(- \frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

خطوة 4

أوجِد $| z |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{1}{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

خطوة 4.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{3^{2}}) + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

خطوة 4.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$| z | = \sqrt{1 (\frac{1^{2}}{3^{2}}) + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

خطوة 4.3

اضرب $\frac{1^{2}}{3^{2}}$ في $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

خطوة 4.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{3^{2}} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

خطوة 4.5

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{9} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

خطوة 4.6

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{2}{3}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{2^{2}}{3^{2}}}$

خطوة 4.7

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{4}{3^{2}}}$

خطوة 4.8

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{4}{9}}$

خطوة 4.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$| z | = \sqrt{\frac{1 + 4}{9}}$

خطوة 4.10

أضف $1$ و $4$ .

$| z | = \sqrt{\frac{5}{9}}$

خطوة 4.11

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{5}{9}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{9}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{9}}$

خطوة 4.12

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.1

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3^{2}}}$

خطوة 4.12.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$| z | = \frac{\sqrt{5}}{3}$

خطوة 5

زاوية النقطة على المستوى العقدي هي المماس العكسي لجزء العدد المركب على الجزء الحقيقي.

$θ = \arctan (\frac{- \frac{1}{3}}{\frac{2}{3}})$

خطوة 6

بما أن المماس المعكوس لـ $\frac{- \frac{1}{3}}{\frac{2}{3}}$ ينتج زاوية في الربع الرابع، إذن قيمة الزاوية تساوي $- 0.4636476$ .

$θ = - 0.4636476$

خطوة 7

عوّض بقيمتَي $θ = - 0.4636476$ و $| z | = \frac{\sqrt{5}}{3}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{3 (\cos (- 0.4636476) + i \sin (- 0.4636476))}$