الجبر الخطي الأمثلة

- 5 i {(4 - 3 i)}^{2}

$- 5 i {(4 - 3 i)}^{2}$

خطوة 1

أعِد كتابة

{(4 - 3 i)}^{2}

${(4 - 3 i)}^{2}$ بالصيغة

(4 - 3 i) (4 - 3 i)

$(4 - 3 i) (4 - 3 i)$ .

- 5 i ((4 - 3 i) (4 - 3 i))

$- 5 i ((4 - 3 i) (4 - 3 i))$

خطوة 2

وسّع

(4 - 3 i) (4 - 3 i)

$(4 - 3 i) (4 - 3 i)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

طبّق خاصية التوزيع.

- 5 i (4 (4 - 3 i) - 3 i (4 - 3 i))

$- 5 i (4 (4 - 3 i) - 3 i (4 - 3 i))$

خطوة 2.2

طبّق خاصية التوزيع.

- 5 i (4 \cdot 4 + 4 (- 3 i) - 3 i (4 - 3 i))

$- 5 i (4 \cdot 4 + 4 (- 3 i) - 3 i (4 - 3 i))$

خطوة 2.3

طبّق خاصية التوزيع.

- 5 i (4 \cdot 4 + 4 (- 3 i) - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))

$- 5 i (4 \cdot 4 + 4 (- 3 i) - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))$

- 5 i (4 \cdot 4 + 4 (- 3 i) - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))

$- 5 i (4 \cdot 4 + 4 (- 3 i) - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))$

خطوة 3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

اضرب

4

$4$ في

4

$4$ .

- 5 i (16 + 4 (- 3 i) - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))

$- 5 i (16 + 4 (- 3 i) - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))$

خطوة 3.1.2

اضرب

- 3

$- 3$ في

4

$4$ .

- 5 i (16 - 12 i - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))

$- 5 i (16 - 12 i - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))$

خطوة 3.1.3

اضرب

4

$4$ في

- 3

$- 3$ .

- 5 i (16 - 12 i - 12 i - 3 i (- 3 i))

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i - 3 i (- 3 i))$

خطوة 3.1.4

اضرب

- 3 i (- 3 i)

$- 3 i (- 3 i)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.4.1

اضرب

- 3

$- 3$ في

- 3

$- 3$ .

- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i i)

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i i)$

خطوة 3.1.4.2

ارفع

i

$i$ إلى القوة

1

$1$ .

- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 (i^{1} i))

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 (i^{1} i))$

خطوة 3.1.4.3

ارفع

i

$i$ إلى القوة

1

$1$ .

- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 (i^{1} i^{1}))

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 (i^{1} i^{1}))$

خطوة 3.1.4.4

استخدِم قاعدة القوة

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i^{1 + 1})

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i^{1 + 1})$

خطوة 3.1.4.5

أضف

1

$1$ و

1

$1$ .

- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i^{2})

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i^{2})$

- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i^{2})

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i^{2})$

خطوة 3.1.5

أعِد كتابة

i^{2}

$i^{2}$ بالصيغة

- 1

$- 1$ .

- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 \cdot - 1)

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 \cdot - 1)$

خطوة 3.1.6

اضرب

9

$9$ في

- 1

$- 1$ .

- 5 i (16 - 12 i - 12 i - 9)

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i - 9)$

- 5 i (16 - 12 i - 12 i - 9)

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i - 9)$

خطوة 3.2

اطرح

9

$9$ من

16

$16$ .

- 5 i (7 - 12 i - 12 i)

$- 5 i (7 - 12 i - 12 i)$

خطوة 3.3

اطرح

12 i

$12 i$ من

- 12 i

$- 12 i$ .

- 5 i (7 - 24 i)

$- 5 i (7 - 24 i)$

- 5 i (7 - 24 i)

$- 5 i (7 - 24 i)$

خطوة 4

طبّق خاصية التوزيع.

- 5 i \cdot 7 - 5 i (- 24 i)

$- 5 i \cdot 7 - 5 i (- 24 i)$

خطوة 5

اضرب

7

$7$ في

- 5

$- 5$ .

- 35 i - 5 i (- 24 i)

$- 35 i - 5 i (- 24 i)$

خطوة 6

اضرب

- 5 i (- 24 i)

$- 5 i (- 24 i)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب

- 24

$- 24$ في

- 5

$- 5$ .

- 35 i + 120 i i

$- 35 i + 120 i i$

خطوة 6.2

ارفع

i

$i$ إلى القوة

1

$1$ .

- 35 i + 120 (i^{1} i)

$- 35 i + 120 (i^{1} i)$

خطوة 6.3

ارفع

i

$i$ إلى القوة

1

$1$ .

- 35 i + 120 (i^{1} i^{1})

$- 35 i + 120 (i^{1} i^{1})$

خطوة 6.4

استخدِم قاعدة القوة

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

- 35 i + 120 i^{1 + 1}

$- 35 i + 120 i^{1 + 1}$

خطوة 6.5

أضف

1

$1$ و

1

$1$ .

- 35 i + 120 i^{2}

$- 35 i + 120 i^{2}$

- 35 i + 120 i^{2}

$- 35 i + 120 i^{2}$

خطوة 7

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أعِد كتابة

i^{2}

$i^{2}$ بالصيغة

- 1

$- 1$ .

- 35 i + 120 \cdot - 1

$- 35 i + 120 \cdot - 1$

خطوة 7.2

اضرب

120

$120$ في

- 1

$- 1$ .

- 35 i - 120

$- 35 i - 120$

- 35 i - 120

$- 35 i - 120$

خطوة 8

أعِد ترتيب

- 35 i

$- 35 i$ و

- 120

$- 120$ .

- 120 - 35 i

$- 120 - 35 i$

خطوة 9

هذه هي الصيغة المثلثية للعدد المركب وبها

| z |

$| z |$ يمثل المقياس و

θ

$θ$ يمثل الزاوية الناشئة في المستوى العقدي.

z = a + b i = | z | (cos (θ) + i sin (θ))

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

خطوة 10

مقياس العدد المركب يمثل طول المسافة بين العدد المركب ونقطة الأصل في المستوى المركب.

| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ حيث

z = a + b i

$z = a + b i$

خطوة 11

عوّض بالقيمتين الفعليتين لـ

a = - 120

$a = - 120$ و

b = - 35

$b = - 35$ .

| z | = \sqrt{{(- 35)}^{2} + {(- 120)}^{2}}

$| z | = \sqrt{{(- 35)}^{2} + {(- 120)}^{2}}$

خطوة 12

أوجِد

| z |

$| z |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

ارفع

- 35

$- 35$ إلى القوة

2

$2$ .

| z | = \sqrt{1225 + {(- 120)}^{2}}

$| z | = \sqrt{1225 + {(- 120)}^{2}}$

خطوة 12.2

ارفع

- 120

$- 120$ إلى القوة

2

$2$ .

| z | = \sqrt{1225 + 14400}

$| z | = \sqrt{1225 + 14400}$

خطوة 12.3

أضف

1225

$1225$ و

14400

$14400$ .

| z | = \sqrt{15625}

$| z | = \sqrt{15625}$

خطوة 12.4

أعِد كتابة

15625

$15625$ بالصيغة

125^{2}

$125^{2}$ .

| z | = \sqrt{125^{2}}

$| z | = \sqrt{125^{2}}$

خطوة 12.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

| z | = 125

$| z | = 125$

| z | = 125

$| z | = 125$

خطوة 13

زاوية النقطة على المستوى العقدي هي المماس العكسي لجزء العدد المركب على الجزء الحقيقي.

θ = arctan (\frac{- 35}{- 120})

$θ = \arctan (\frac{- 35}{- 120})$

خطوة 14

بما أن دالة المماس العكسية لـ

$\frac{- 35}{- 120}$ ينتج عنها وجود زاوية في الربع الثالث، إذن قيمة الزاوية تساوي

$3.42538676$ .

$θ = 3.42538676$

خطوة 15

عوّض بقيمتَي

$θ = 3.42538676$ و

$| z | = 125$ .

$125 (\cos (3.42538676) + i \sin (3.42538676))$