الجبر الخطي الأمثلة

$- 4 \sqrt{3} + i$

خطوة 1

هذه هي الصيغة المثلثية للعدد المركب وبها

$| z |$ يمثل المقياس و

$θ$ يمثل الزاوية الناشئة في المستوى العقدي.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

خطوة 2

مقياس العدد المركب يمثل طول المسافة بين العدد المركب ونقطة الأصل في المستوى المركب.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ حيث

$z = a + b i$

خطوة 3

عوّض بالقيمتين الفعليتين لـ

$a = - 4 \sqrt{3}$ و

$b = 1$ .

$| z | = \sqrt{1^{2} + {(- 4 \sqrt{3})}^{2}}$

خطوة 4

أوجِد

$| z |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$| z | = \sqrt{1 + {(- 4 \sqrt{3})}^{2}}$

خطوة 4.1.2

طبّق قاعدة الضرب على

$- 4 \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{1 + {(- 4)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

خطوة 4.1.3

ارفع

$- 4$ إلى القوة

$2$ .

$| z | = \sqrt{1 + 16 {\sqrt{3}}^{2}}$

خطوة 4.2

أعِد كتابة

${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة

$3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

استخدِم

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة

$\sqrt{3}$ في صورة

$3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{1 + 16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 4.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس،

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 4.2.3

اجمع

$\frac{1}{2}$ و

$2$ .

$| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 4.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ

$2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 4.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3}$

خطوة 4.2.5

احسِب قيمة الأُس.

$| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3}$

خطوة 4.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اضرب

$16$ في

$3$ .

$| z | = \sqrt{1 + 48}$

خطوة 4.3.2

أضف

$1$ و

$48$ .

$| z | = \sqrt{49}$

خطوة 4.3.3

أعِد كتابة

$49$ بالصيغة

$7^{2}$ .

$| z | = \sqrt{7^{2}}$

خطوة 4.4

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$| z | = 7$

خطوة 5

زاوية النقطة على المستوى العقدي هي المماس العكسي لجزء العدد المركب على الجزء الحقيقي.

$θ = \arctan (\frac{1}{- 4 \sqrt{3}})$

خطوة 6

بما أن المماس المعكوس لـ

$\frac{1}{- 4 \sqrt{3}}$ ينتج زاوية في الربع الثاني، إذن قيمة الزاوية تساوي

$2.99824508$ .

$θ = 2.99824508$

خطوة 7

عوّض بقيمتَي

$θ = 2.99824508$ و

$| z | = 7$ .

$7 (\cos (2.99824508) + i \sin (2.99824508))$