الجبر الخطي الأمثلة

$x - [\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 & 2 & 2 \\ 8 & 3 & 4 \end{array}]$

خطوة 1

يحدد التحويل خريطة من $ℝ^{2}$ إلى $ℝ^{2}$ . ولإثبات أن التحويل خطي، يجب أن يحافظ التحويل على ضرب الكميات العددية وجمع المتجهات والمتجه الصفري.

x: $ℝ^{2} \to ℝ^{2}$

خطوة 2

أولاً، اثبت أن التحويل يحافظ على هذه الخاصية.

$x (x + y) = x (x) + x (y)$

خطوة 3

أنشئ مصفوفتين للتأكد مما إذا كانت خاصية الجمع محفوظة لـ $x$ .

$x ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \end{array}])$

خطوة 4

أضف المصفوفتين.

$x [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \end{array}]$

خطوة 5

طبّق التحويل على المتجه.

$x (x + y) = [\begin{array}{c} 2 \\ 8 \end{array}]$

خطوة 6

قسّم النتيجة إلى مصفوفتين بتجميع المتغيرات.

$x (x + y) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

خطوة 7

بما أن خاصية جمع التحويلات لا تنطبق، إذن هذا ليس تحويلاً خطيًا.

$x (x + y) \neq x (x) + x (y)$