الجبر الخطي الأمثلة

$S [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = (x + y + z) \cdot [\begin{array}{c} 1 \\ z \end{array}]$

خطوة 1

يحدد التحويل خريطة من $ℝ^{3}$ إلى $ℝ^{1}$ . ولإثبات أن التحويل خطي، يجب أن يحافظ التحويل على ضرب الكميات العددية وجمع المتجهات والمتجه الصفري.

المجموع: $ℝ^{3} \to ℝ^{1}$

خطوة 2

أولاً، اثبت أن التحويل يحافظ على هذه الخاصية.

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

خطوة 3

أنشئ مصفوفتين للتأكد مما إذا كانت خاصية الجمع محفوظة لـ $S$ .

$S ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

خطوة 4

أضف المصفوفتين.

$S [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]$

خطوة 5

طبّق التحويل على المتجه.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} + x_{2} + y_{2} + x_{3} + y_{3} \end{array}]$

خطوة 6

أعِد ترتيب $x_{1} + y_{1} + x_{2} + y_{2} + x_{3} + y_{3}$ .

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + x_{2} + x_{3} + y_{1} + y_{2} + y_{3} \end{array}]$

خطوة 7

قسّم النتيجة إلى مصفوفتين بتجميع المتغيرات.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + x_{2} + x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} + y_{2} + y_{3} \end{array}]$

خطوة 8

خاصية الجمع للتحويل تنطبق.

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

خطوة 9

لكي يكون التحويل خطيًا، يجب أن يحافظ على ضرب الكمية العددية.

$S (p x) = T (p [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}])$

خطوة 10

حلّل $p$ إلى عوامل من كل عنصر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اضرب $p$ في كل عنصر في المصفوفة.

$S (p x) = S ([\begin{array}{c} p x \\ p y \\ p z \end{array}])$

خطوة 10.2

طبّق التحويل على المتجه.

$S (p x) = [\begin{array}{c} p x + p y + p z \end{array}]$

خطوة 10.3

أعِد ترتيب $p x + p y + p z$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} p x + p y + p z \end{array}]$

خطوة 10.4

حلّل العنصر $0, 0$ إلى عوامل بضرب $p x + p y + p z$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (x + y + z) \end{array}]$

خطوة 11

الخاصية الثانية للتحويلات الخطية محفوظة في هذا التحويل.

$S (p [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}]) = p S (x)$

خطوة 12

لكي يكون التحويل خطيًا، يجب الحفاظ على المتجه الصفري.

$S (0) = 0$

خطوة 13

طبّق التحويل على المتجه.

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 + 0 + 0 \end{array}]$

خطوة 14

أعِد ترتيب $0 + 0 + 0$ .

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \end{array}]$

خطوة 15

التحويل يحافظ على المتجه الصفري.

$S (0) = 0$

خطوة 16

نظرًا إلى عدم استيفائه جميع الخصائص الثلاثة للتحويلات الخطية، إذن هذا ليس تحويلاً خطيًا.

التحويل الخطي