الجبر الخطي الأمثلة

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} - 1 & 0 & - 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 1

اضرب $[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} - 1 & 0 & - 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{array}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $3 \times 2$ and the second matrix is $2 \times 3$ .

خطوة 1.2

اضرب كل صف في المصفوفة الأولى في كل عمود في المصفوفة الثانية.

$[\begin{array}{c} 3 \cdot - 1 + 2 \cdot 2 & 3 \cdot 0 + 2 \cdot 1 & 3 \cdot - 1 + 2 \cdot 0 \\ - - 1 + 0 \cdot 2 & - 0 + 0 \cdot 1 & - - 1 + 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot - 1 - 1 \cdot 2 & 0 \cdot 0 - 1 \cdot 1 & 0 \cdot - 1 - 0 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 1.3

بسّط كل عنصر من عناصر المصفوفة بضرب جميع العبارات.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 1 & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 2

اضرب $[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 2 & - 1 & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{array}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $3 \times 3$ and the second matrix is $3 \times 3$ .

خطوة 2.2

اضرب كل صف في المصفوفة الأولى في كل عمود في المصفوفة الثانية.

$[\begin{array}{c} 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 - 3 \cdot 3 & 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 - 3 \cdot 0 & 1 \cdot 0 + 2 \cdot 0 - 3 \cdot 1 \\ 1 \cdot 1 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 3 & 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 & 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \\ - 2 \cdot 1 - 1 \cdot 2 + 0 \cdot 3 & - 2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 - 0 + 0 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 2.3

بسّط كل عنصر من عناصر المصفوفة بضرب جميع العبارات.

$[\begin{array}{c} - 4 & 3 & - 3 \\ 4 & 1 & 1 \\ - 4 & - 3 & 0 \end{array}]$

خطوة 3

Find the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $3$ by its cofactor and add.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

خطوة 3.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

خطوة 3.1.3

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & 1 \end{array} |$

خطوة 3.1.4

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$- 4 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & 1 \end{array} |$

خطوة 3.1.5

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 4 & - 3 \\ 4 & 1 \end{array} |$

خطوة 3.1.6

Multiply element $a_{32}$ by its cofactor.

$3 | \begin{array}{c} - 4 & - 3 \\ 4 & 1 \end{array} |$

خطوة 3.1.7

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 4 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} |$

خطوة 3.1.8

Multiply element $a_{33}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 4 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} |$

خطوة 3.1.9

Add the terms together.

$- 4 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & 1 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 4 & - 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 4 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} |$

خطوة 3.2

اضرب $0$ في $| \begin{array}{c} - 4 & 3 \\ 4 & 1 \end{array} |$ .

$- 4 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & 1 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 4 & - 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 0$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 4 (3 \cdot 1 - 1 \cdot - 3) + 3 | \begin{array}{c} - 4 & - 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 0$

خطوة 3.3.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

اضرب $3$ في $1$ .

$- 4 (3 - 1 \cdot - 3) + 3 | \begin{array}{c} - 4 & - 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 0$

خطوة 3.3.2.1.2

اضرب $- 1$ في $- 3$ .

$- 4 (3 + 3) + 3 | \begin{array}{c} - 4 & - 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 0$

خطوة 3.3.2.2

أضف $3$ و $3$ .

$- 4 \cdot 6 + 3 | \begin{array}{c} - 4 & - 3 \\ 4 & 1 \end{array} | + 0$

خطوة 3.4

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} - 4 & - 3 \\ 4 & 1 \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 4 \cdot 6 + 3 (- 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 3) + 0$

خطوة 3.4.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$- 4 \cdot 6 + 3 (- 4 - 4 \cdot - 3) + 0$

خطوة 3.4.2.1.2

اضرب $- 4$ في $- 3$ .

$- 4 \cdot 6 + 3 (- 4 + 12) + 0$

خطوة 3.4.2.2

أضف $- 4$ و $12$ .

$- 4 \cdot 6 + 3 \cdot 8 + 0$

خطوة 3.5

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1.1

اضرب $- 4$ في $6$ .

$- 24 + 3 \cdot 8 + 0$

خطوة 3.5.1.2

اضرب $3$ في $8$ .

$- 24 + 24 + 0$

خطوة 3.5.2

أضف $- 24$ و $24$ .

$0 + 0$

خطوة 3.5.3

أضف $0$ و $0$ .

$0$

خطوة 4

There is no inverse because the determinant is $0$ .