الجبر الخطي الأمثلة

$y = 3 x + 2$ , $x - 4 y = 9$

خطوة 1

اطرح $3 x$ من كلا المتعادلين.

$y - 3 x = 2, x - 4 y = 9$

خطوة 2

لإيجاد تقاطع الخط المار بالنقطة $(p, q, r)$ والعمودي على المستوى $P_{1}$ $a x + b y + c z = d$ والمستوى $P_{2}$ $e x + f y + g z = h$ :

1. أوجِد المتجهات العادية للمستوى $P_{1}$ والمستوى $P_{2}$ ، حيث تكون المتجهات العادية $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ و $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ . تحقق لمعرفة ما إذا كان حاصل الضرب النقطي هو 0.

2. قم بإنشاء مجموعة من المعادلات الوسطية، مثل $x = p + a t$ و $y = q + b t$ و $z = r + c t$ .

3. استبدِل هذه المعادلات بمعادلة المستوى $P_{2}$ ، مثل $e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ وأوجِد الحل لـ $t$ .

4. باستخدام قيمة $t$ ، أوجِد قيمة $t$ في المعادلات الوسطية $x = p + a t$ و $y = q + b t$ و $z = r + c t$ لإيجاد التقاطع $(x, y, z)$ .

خطوة 3

أوجِد المتجهات العادية لكل مستوى وحدد ما إذا كانت متعامدة بحساب حاصل الضرب القياسي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

$P_{1}$ هو $y - 3 x = 2$ . أوجِد المتجه العادي $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ من معادلة السطح المستوي بالصيغة $a x + b y + c z = d$ .

$n_{1} = ⟨ - 3, 1, 0 ⟩$

خطوة 3.2

$P_{2}$ هو $x - 4 y = 9$ . أوجِد المتجه العادي $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ من معادلة السطح المستوي بالصيغة $e x + f y + g z = h$ .

$n_{2} = ⟨ 1, - 4, 0 ⟩$

خطوة 3.3

احسب حاصل الضرب القياسي لـ $n_{1}$ و $n_{2}$ عن طريق جمع نواتج قيم $x$ و $y$ و $z$ المقابلة في المتجهات العادية.

$- 3 \cdot 1 + 1 \cdot - 4 + 0 \cdot 0$

خطوة 3.4

بسّط حاصل الضرب القياسي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

احذِف الأقواس.

$- 3 \cdot 1 + 1 \cdot - 4 + 0 \cdot 0$

خطوة 3.4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

اضرب $- 3$ في $1$ .

$- 3 + 1 \cdot - 4 + 0 \cdot 0$

خطوة 3.4.2.2

اضرب $- 4$ في $1$ .

$- 3 - 4 + 0 \cdot 0$

خطوة 3.4.2.3

اضرب $0$ في $0$ .

$- 3 - 4 + 0$

خطوة 3.4.3

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

اطرح $4$ من $- 3$ .

$- 7 + 0$

خطوة 3.4.3.2

أضف $- 7$ و $0$ .

$- 7$

خطوة 4

بعد ذلك، أنشئ مجموعة من المعادلات الوسطية $x = p + a t$ و $y = q + b t$ و $z = r + c t$ باستخدام نقطة الأصل $(0, 0, 0)$ للنقطة $(p, q, r)$ والقيم من المتجه العمودي $- 7$ للقيم $a$ و $b$ و $c$ . تمثِّل هذه المجموعة من المعادلات الوسطية الخط المارّ بالأصل المتعامد على $P_{1}$ $y - 3 x = 2$ .

$x = 0 + - 3 \cdot t$

$y = 0 + 1 \cdot t$

$z = 0 + 0 \cdot t$

خطوة 5

استبدِل العبارة بـ $x$ و $y$ و $z$ وعوّض بقيمها في المعادلة $P_{2}$ $x - 4 y = 9$ .

$(0 - 3 \cdot t) - 4 (0 + 1 \cdot t) = 9$

خطوة 6

أوجِد قيمة $t$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط $(0 - 3 \cdot t) - 4 (0 + 1 \cdot t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $(0 - 3 \cdot t) - 4 (0 + 1 \cdot t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1

اطرح $3 \cdot t$ من $0$ .

$- 3 \cdot t - 4 (0 + 1 \cdot t) = 9$

خطوة 6.1.1.2

أضف $0$ و $1 \cdot t$ .

$- 3 \cdot t - 4 (1 \cdot t) = 9$

خطوة 6.1.2

اضرب $t$ في $1$ .

$- 3 t - 4 t = 9$

خطوة 6.1.3

اطرح $4 t$ من $- 3 t$ .

$- 7 t = 9$

خطوة 6.2

اقسِم كل حد في $- 7 t = 9$ على $- 7$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اقسِم كل حد في $- 7 t = 9$ على $- 7$ .

$\frac{- 7 t}{- 7} = \frac{9}{- 7}$

خطوة 6.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 7 t}{- 7} = \frac{9}{- 7}$

خطوة 6.2.2.1.2

اقسِم $t$ على $1$ .

$t = \frac{9}{- 7}$

خطوة 6.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$t = - \frac{9}{7}$

خطوة 7

أوجِد قيم $x$ و $y$ و $z$ في المعادلات الوسطية مستخدمًا قيمة $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

احذِف الأقواس.

$x = 0 - 3 \cdot (- 1 (\frac{9}{7}))$

خطوة 7.1.2

احذِف الأقواس.

$x = 0 - 3 \cdot (- \frac{9}{7})$

خطوة 7.1.3

بسّط $0 - 3 \cdot (- \frac{9}{7})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.3.1

اضرب $- 3 (- \frac{9}{7})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.3.1.1

اضرب $- 1$ في $- 3$ .

$x = 0 + 3 (\frac{9}{7})$

خطوة 7.1.3.1.2

اجمع $3$ و $\frac{9}{7}$ .

$x = 0 + \frac{3 \cdot 9}{7}$

خطوة 7.1.3.1.3

اضرب $3$ في $9$ .

$x = 0 + \frac{27}{7}$

خطوة 7.1.3.2

أضف $0$ و $\frac{27}{7}$ .

$x = \frac{27}{7}$

خطوة 7.2

أوجِد قيمة $y$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

احذِف الأقواس.

$y = 0 + 1 \cdot (- 1 (\frac{9}{7}))$

خطوة 7.2.2

احذِف الأقواس.

$y = 0 + 1 \cdot (- \frac{9}{7})$

خطوة 7.2.3

بسّط $0 + 1 \cdot (- \frac{9}{7})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

اضرب $- \frac{9}{7}$ في $1$ .

$y = 0 - \frac{9}{7}$

خطوة 7.2.3.2

اطرح $\frac{9}{7}$ من $0$ .

$y = - \frac{9}{7}$

خطوة 7.3

أوجِد قيمة $z$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

احذِف الأقواس.

$z = 0 + 0 \cdot (- 1 (\frac{9}{7}))$

خطوة 7.3.2

احذِف الأقواس.

$z = 0 + 0 \cdot (- \frac{9}{7})$

خطوة 7.3.3

بسّط $0 + 0 \cdot (- \frac{9}{7})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.3.1

اضرب $0 (- \frac{9}{7})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.3.1.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$z = 0 + 0 (\frac{9}{7})$

خطوة 7.3.3.1.2

اضرب $0$ في $\frac{9}{7}$ .

$z = 0 + 0$

خطوة 7.3.3.2

أضف $0$ و $0$ .

$z = 0$

خطوة 7.4

المعادلات الوسطية التي تم إيجاد بها قيم $x$ و $y$ و $z$ .

$x = \frac{27}{7}$

$y = - \frac{9}{7}$

$z = 0$

$x = \frac{27}{7}$

$y = - \frac{9}{7}$

$z = 0$

خطوة 8

باستخدام القيم المحسوبة لـ $x$ و $y$ و $z$ ، تم إيجاد أن نقطة التقاطع هي $(\frac{27}{7}, - \frac{9}{7}, 0)$ .

$(\frac{27}{7}, - \frac{9}{7}, 0)$