الجبر الخطي الأمثلة

y = 3 x + 2

$y = 3 x + 2$ ,

x - 4 y = 9

$x - 4 y = 9$

خطوة 1

اطرح

3 x

$3 x$ من كلا المتعادلين.

y - 3 x = 2, x - 4 y = 9

$y - 3 x = 2, x - 4 y = 9$

خطوة 2

لإيجاد تقاطع الخط المار بالنقطة

(p, q, r)

$(p, q, r)$ والعمودي على المستوى

P_{1}

$P_{1}$

a x + b y + c z = d

$a x + b y + c z = d$ والمستوى

P_{2}

$P_{2}$

e x + f y + g z = h

$e x + f y + g z = h$ :

1. أوجِد المتجهات العادية للمستوى

P_{1}

$P_{1}$ والمستوى

P_{2}

$P_{2}$ ، حيث تكون المتجهات العادية

n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩

$n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ و

n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩

$n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ . تحقق لمعرفة ما إذا كان حاصل الضرب النقطي هو 0.

2. قم بإنشاء مجموعة من المعادلات الوسطية، مثل

x = p + a t

$x = p + a t$ و

y = q + b t

$y = q + b t$ و

z = r + c t

$z = r + c t$ .

3. استبدِل هذه المعادلات بمعادلة المستوى

P_{2}

$P_{2}$ ، مثل

e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h

$e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ وأوجِد الحل لـ

t

$t$ .

4. باستخدام قيمة

t

$t$ ، أوجِد قيمة

t

$t$ في المعادلات الوسطية

x = p + a t

$x = p + a t$ و

y = q + b t

$y = q + b t$ و

z = r + c t

$z = r + c t$ لإيجاد التقاطع

(x, y, z)

$(x, y, z)$ .

خطوة 3

أوجِد المتجهات العادية لكل مستوى وحدد ما إذا كانت متعامدة بحساب حاصل الضرب القياسي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

P_{1}

$P_{1}$ هو

y - 3 x = 2

$y - 3 x = 2$ . أوجِد المتجه العادي

n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩

$n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ من معادلة السطح المستوي بالصيغة

a x + b y + c z = d

$a x + b y + c z = d$ .

n_{1} = ⟨ - 3, 1, 0 ⟩

$n_{1} = ⟨ - 3, 1, 0 ⟩$

خطوة 3.2

P_{2}

$P_{2}$ هو

x - 4 y = 9

$x - 4 y = 9$ . أوجِد المتجه العادي

n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩

$n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ من معادلة السطح المستوي بالصيغة

e x + f y + g z = h

$e x + f y + g z = h$ .

n_{2} = ⟨ 1, - 4, 0 ⟩

$n_{2} = ⟨ 1, - 4, 0 ⟩$

خطوة 3.3

احسب حاصل الضرب القياسي لـ

n_{1}

$n_{1}$ و

n_{2}

$n_{2}$ عن طريق جمع نواتج قيم

x

$x$ و

y

$y$ و

z

$z$ المقابلة في المتجهات العادية.

- 3 \cdot 1 + 1 \cdot - 4 + 0 \cdot 0

$- 3 \cdot 1 + 1 \cdot - 4 + 0 \cdot 0$

خطوة 3.4

بسّط حاصل الضرب القياسي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

احذِف الأقواس.

- 3 \cdot 1 + 1 \cdot - 4 + 0 \cdot 0

$- 3 \cdot 1 + 1 \cdot - 4 + 0 \cdot 0$

خطوة 3.4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

اضرب

- 3

$- 3$ في

1

$1$ .

- 3 + 1 \cdot - 4 + 0 \cdot 0

$- 3 + 1 \cdot - 4 + 0 \cdot 0$

خطوة 3.4.2.2

اضرب

- 4

$- 4$ في

1

$1$ .

- 3 - 4 + 0 \cdot 0

$- 3 - 4 + 0 \cdot 0$

خطوة 3.4.2.3

اضرب

0

$0$ في

0

$0$ .

- 3 - 4 + 0

$- 3 - 4 + 0$

- 3 - 4 + 0

$- 3 - 4 + 0$

خطوة 3.4.3

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

اطرح

4

$4$ من

- 3

$- 3$ .

- 7 + 0

$- 7 + 0$

خطوة 3.4.3.2

أضف

- 7

$- 7$ و

0

$0$ .

- 7

$- 7$

- 7

$- 7$

- 7

$- 7$

- 7

$- 7$

خطوة 4

بعد ذلك، أنشئ مجموعة من المعادلات الوسطية

x = p + a t

$x = p + a t$ و

y = q + b t

$y = q + b t$ و

z = r + c t

$z = r + c t$ باستخدام نقطة الأصل

(0, 0, 0)

$(0, 0, 0)$ للنقطة

(p, q, r)

$(p, q, r)$ والقيم من المتجه العمودي

- 7

$- 7$ للقيم

a

$a$ و

b

$b$ و

c

$c$ . تمثِّل هذه المجموعة من المعادلات الوسطية الخط المارّ بالأصل المتعامد على

P_{1}

$P_{1}$

y - 3 x = 2

$y - 3 x = 2$ .

x = 0 + - 3 \cdot t

$x = 0 + - 3 \cdot t$

y = 0 + 1 \cdot t

$y = 0 + 1 \cdot t$

z = 0 + 0 \cdot t

$z = 0 + 0 \cdot t$

خطوة 5

استبدِل العبارة بـ

x

$x$ و

y

$y$ و

z

$z$ وعوّض بقيمها في المعادلة

P_{2}

$P_{2}$

x - 4 y = 9

$x - 4 y = 9$ .

(0 - 3 \cdot t) - 4 (0 + 1 \cdot t) = 9

$(0 - 3 \cdot t) - 4 (0 + 1 \cdot t) = 9$

خطوة 6

أوجِد قيمة

t

$t$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط

(0 - 3 \cdot t) - 4 (0 + 1 \cdot t)

$(0 - 3 \cdot t) - 4 (0 + 1 \cdot t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

جمّع الحدود المتعاكسة في

(0 - 3 \cdot t) - 4 (0 + 1 \cdot t)

$(0 - 3 \cdot t) - 4 (0 + 1 \cdot t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1

اطرح

3 \cdot t

$3 \cdot t$ من

0

$0$ .

- 3 \cdot t - 4 (0 + 1 \cdot t) = 9

$- 3 \cdot t - 4 (0 + 1 \cdot t) = 9$

خطوة 6.1.1.2

أضف

0

$0$ و

1 \cdot t

$1 \cdot t$ .

- 3 \cdot t - 4 (1 \cdot t) = 9

$- 3 \cdot t - 4 (1 \cdot t) = 9$

- 3 \cdot t - 4 (1 \cdot t) = 9

$- 3 \cdot t - 4 (1 \cdot t) = 9$

خطوة 6.1.2

اضرب

t

$t$ في

1

$1$ .

- 3 t - 4 t = 9

$- 3 t - 4 t = 9$

خطوة 6.1.3

اطرح

4 t

$4 t$ من

- 3 t

$- 3 t$ .

- 7 t = 9

$- 7 t = 9$

- 7 t = 9

$- 7 t = 9$

خطوة 6.2

اقسِم كل حد في

- 7 t = 9

$- 7 t = 9$ على

- 7

$- 7$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اقسِم كل حد في

- 7 t = 9

$- 7 t = 9$ على

- 7

$- 7$ .

\frac{- 7 t}{- 7} = \frac{9}{- 7}

$\frac{- 7 t}{- 7} = \frac{9}{- 7}$

خطوة 6.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ

- 7

$- 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 7 t}{- 7} = \frac{9}{- 7}$

خطوة 6.2.2.1.2

اقسِم

$t$ على

$1$ .

$t = \frac{9}{- 7}$

خطوة 6.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$t = - \frac{9}{7}$

خطوة 7

أوجِد قيم

$x$ و

$y$ و

$z$ في المعادلات الوسطية مستخدمًا قيمة

$t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أوجِد قيمة

$x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

احذِف الأقواس.

$x = 0 - 3 \cdot (- 1 (\frac{9}{7}))$

خطوة 7.1.2

احذِف الأقواس.

$x = 0 - 3 \cdot (- \frac{9}{7})$

خطوة 7.1.3

بسّط

$0 - 3 \cdot (- \frac{9}{7})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.3.1

اضرب

$- 3 (- \frac{9}{7})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.3.1.1

اضرب

$- 1$ في

$- 3$ .

$x = 0 + 3 (\frac{9}{7})$

خطوة 7.1.3.1.2

اجمع

$3$ و

$\frac{9}{7}$ .

$x = 0 + \frac{3 \cdot 9}{7}$

خطوة 7.1.3.1.3

اضرب

$3$ في

$9$ .

$x = 0 + \frac{27}{7}$

خطوة 7.1.3.2

أضف

$0$ و

$\frac{27}{7}$ .

$x = \frac{27}{7}$

خطوة 7.2

أوجِد قيمة

$y$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

احذِف الأقواس.

$y = 0 + 1 \cdot (- 1 (\frac{9}{7}))$

خطوة 7.2.2

احذِف الأقواس.

$y = 0 + 1 \cdot (- \frac{9}{7})$

خطوة 7.2.3

بسّط

$0 + 1 \cdot (- \frac{9}{7})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

اضرب

$- \frac{9}{7}$ في

$1$ .

$y = 0 - \frac{9}{7}$

خطوة 7.2.3.2

اطرح

$\frac{9}{7}$ من

$0$ .

$y = - \frac{9}{7}$

خطوة 7.3

أوجِد قيمة

$z$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

احذِف الأقواس.

$z = 0 + 0 \cdot (- 1 (\frac{9}{7}))$

خطوة 7.3.2

احذِف الأقواس.

$z = 0 + 0 \cdot (- \frac{9}{7})$

خطوة 7.3.3

بسّط

$0 + 0 \cdot (- \frac{9}{7})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.3.1

اضرب

$0 (- \frac{9}{7})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.3.1.1

اضرب

$- 1$ في

$0$ .

$z = 0 + 0 (\frac{9}{7})$

خطوة 7.3.3.1.2

اضرب

$0$ في

$\frac{9}{7}$ .

$z = 0 + 0$

خطوة 7.3.3.2

أضف

$0$ و

$0$ .

$z = 0$

خطوة 7.4

المعادلات الوسطية التي تم إيجاد بها قيم

$x$ و

$y$ و

$z$ .

$x = \frac{27}{7}$

$y = - \frac{9}{7}$

$z = 0$

$x = \frac{27}{7}$

$y = - \frac{9}{7}$

$z = 0$

خطوة 8

باستخدام القيم المحسوبة لـ

$x$ و

$y$ و

$z$ ، تم إيجاد أن نقطة التقاطع هي

$(\frac{27}{7}, - \frac{9}{7}, 0)$ .

$(\frac{27}{7}, - \frac{9}{7}, 0)$