الجبر الخطي الأمثلة

$[\begin{array}{c} 2 & 2 \\ - 1 + 3 i & - 1 - 3 i \end{array}]$

خطوة 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

خطوة 2

Find the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 (- 1 - 3 i) - (- 1 + 3 i) \cdot 2$

خطوة 2.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 \cdot - 1 + 2 (- 3 i) - (- 1 + 3 i) \cdot 2$

خطوة 2.2.1.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 + 2 (- 3 i) - (- 1 + 3 i) \cdot 2$

خطوة 2.2.1.3

اضرب $- 3$ في $2$ .

$- 2 - 6 i - (- 1 + 3 i) \cdot 2$

خطوة 2.2.1.4

طبّق خاصية التوزيع.

$- 2 - 6 i + (- - 1 - (3 i)) \cdot 2$

خطوة 2.2.1.5

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- 2 - 6 i + (1 - (3 i)) \cdot 2$

خطوة 2.2.1.6

اضرب $3$ في $- 1$ .

$- 2 - 6 i + (1 - 3 i) \cdot 2$

خطوة 2.2.1.7

طبّق خاصية التوزيع.

$- 2 - 6 i + 1 \cdot 2 - 3 i \cdot 2$

خطوة 2.2.1.8

اضرب $2$ في $1$ .

$- 2 - 6 i + 2 - 3 i \cdot 2$

خطوة 2.2.1.9

اضرب $2$ في $- 3$ .

$- 2 - 6 i + 2 - 6 i$

خطوة 2.2.2

أضف $- 2$ و $2$ .

$0 - 6 i - 6 i$

خطوة 2.2.3

اطرح $6 i$ من $0$ .

$- 6 i - 6 i$

خطوة 2.2.4

اطرح $6 i$ من $- 6 i$ .

$- 12 i$

خطوة 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

خطوة 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 12 i} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

خطوة 5

اضرب بسط وقاسم $\frac{1}{- 12 i}$ في مرافق $- 12 i$ لجعل القاسم عددًا حقيقيًا.

$\frac{1}{- 12 i} \cdot \frac{i}{i} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

خطوة 6

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اجمع.

$\frac{1 i}{- 12 i i} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

خطوة 6.2

اضرب $i$ في $1$ .

$\frac{i}{- 12 i i} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

خطوة 6.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

أضف الأقواس.

$\frac{i}{- 12 (i i)} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

خطوة 6.3.2

ارفع $i$ إلى القوة $1$ .

$\frac{i}{- 12 (i^{1} i)} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

خطوة 6.3.3

ارفع $i$ إلى القوة $1$ .

$\frac{i}{- 12 (i^{1} i^{1})} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

خطوة 6.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{i}{- 12 i^{1 + 1}} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

خطوة 6.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{i}{- 12 i^{2}} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

خطوة 6.3.6

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$\frac{i}{- 12 \cdot - 1} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

خطوة 7

اضرب $- 12$ في $- 1$ .

$\frac{i}{12} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

خطوة 8

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{i}{12} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - - 1 - (3 i) & 2 \end{array}]$

خطوة 9

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{i}{12} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ 1 - (3 i) & 2 \end{array}]$

خطوة 10

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{i}{12} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ 1 - 3 i & 2 \end{array}]$

خطوة 11

اضرب $\frac{i}{12}$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$[\begin{array}{c} \frac{i}{12} (- 1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

خطوة 12

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

طبّق خاصية التوزيع.

$[\begin{array}{c} \frac{i}{12} \cdot - 1 + \frac{i}{12} (- 3 i) & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

خطوة 12.2

اجمع $\frac{i}{12}$ و $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{i \cdot - 1}{12} + \frac{i}{12} (- 3 i) & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

خطوة 12.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

أخرِج العامل $3$ من $12$ .

$[\begin{array}{c} \frac{i \cdot - 1}{12} + \frac{i}{3 (4)} (- 3 i) & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

خطوة 12.3.2

أخرِج العامل $3$ من $- 3 i$ .

$[\begin{array}{c} \frac{i \cdot - 1}{12} + \frac{i}{3 (4)} (3 (- i)) & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

خطوة 12.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$[\begin{array}{c} \frac{i \cdot - 1}{12} + \frac{i}{3 \cdot 4} (3 (- i)) & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

خطوة 12.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$[\begin{array}{c} \frac{i \cdot - 1}{12} + \frac{i}{4} (- i) & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

خطوة 12.4

اجمع $\frac{i}{4}$ و $i$ .

$[\begin{array}{c} \frac{i \cdot - 1}{12} - \frac{i i}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

خطوة 12.5

ارفع $i$ إلى القوة $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{i \cdot - 1}{12} - \frac{i^{1} i}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

خطوة 12.6

ارفع $i$ إلى القوة $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{i \cdot - 1}{12} - \frac{i^{1} i^{1}}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

خطوة 12.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$[\begin{array}{c} \frac{i \cdot - 1}{12} - \frac{i^{1 + 1}}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

خطوة 12.8

أضف $1$ و $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{i \cdot - 1}{12} - \frac{i^{2}}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

خطوة 12.9

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.9.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.9.1.1

انقُل $- 1$ إلى يسار $i$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 \cdot i}{12} - \frac{i^{2}}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

خطوة 12.9.1.2

أعِد كتابة $- 1 i$ بالصيغة $- i$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- i}{12} - \frac{i^{2}}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

خطوة 12.9.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$[\begin{array}{c} - \frac{i}{12} - \frac{i^{2}}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

خطوة 12.9.3

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{i}{12} - \frac{- 1}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

خطوة 12.9.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$[\begin{array}{c} - \frac{i}{12} - - \frac{1}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

خطوة 12.9.5

اضرب $- - \frac{1}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.9.5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{i}{12} + 1 (\frac{1}{4}) & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

خطوة 12.9.5.2

اضرب $\frac{1}{4}$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{i}{12} + \frac{1}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

خطوة 12.10

أعِد ترتيب $- \frac{i}{12}$ و $\frac{1}{4}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

خطوة 12.11

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.11.1

أخرِج العامل $2$ من $12$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & \frac{i}{2 (6)} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

خطوة 12.11.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & \frac{i}{2 \cdot 6} \cdot (2 \cdot - 1) \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

خطوة 12.11.3

ألغِ العامل المشترك.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & \frac{i}{2 \cdot 6} \cdot (2 \cdot - 1) \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

خطوة 12.11.4

أعِد كتابة العبارة.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & \frac{i}{6} \cdot - 1 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

خطوة 12.12

اجمع $\frac{i}{6}$ و $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & \frac{i \cdot - 1}{6} \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

خطوة 12.13

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.13.1

انقُل $- 1$ إلى يسار $i$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & \frac{- 1 \cdot i}{6} \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

خطوة 12.13.2

أعِد كتابة $- 1 i$ بالصيغة $- i$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & \frac{- i}{6} \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

خطوة 12.14

انقُل السالب أمام الكسر.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

خطوة 12.15

طبّق خاصية التوزيع.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} \cdot 1 + \frac{i}{12} (- 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

خطوة 12.16

اضرب $\frac{i}{12}$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} + \frac{i}{12} (- 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

خطوة 12.17

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.17.1

أخرِج العامل $3$ من $12$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} + \frac{i}{3 (4)} (- 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

خطوة 12.17.2

أخرِج العامل $3$ من $- 3 i$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} + \frac{i}{3 (4)} (3 (- i)) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

خطوة 12.17.3

ألغِ العامل المشترك.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} + \frac{i}{3 \cdot 4} (3 (- i)) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

خطوة 12.17.4

أعِد كتابة العبارة.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} + \frac{i}{4} (- i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

خطوة 12.18

اجمع $\frac{i}{4}$ و $i$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} - \frac{i i}{4} & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

خطوة 12.19

ارفع $i$ إلى القوة $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} - \frac{i^{1} i}{4} & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

خطوة 12.20

ارفع $i$ إلى القوة $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} - \frac{i^{1} i^{1}}{4} & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

خطوة 12.21

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} - \frac{i^{1 + 1}}{4} & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

خطوة 12.22

أضف $1$ و $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} - \frac{i^{2}}{4} & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

خطوة 12.23

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.23.1

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} - \frac{- 1}{4} & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

خطوة 12.23.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} - - \frac{1}{4} & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

خطوة 12.23.3

اضرب $- - \frac{1}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.23.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} + 1 (\frac{1}{4}) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

خطوة 12.23.3.2

اضرب $\frac{1}{4}$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} + \frac{1}{4} & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

خطوة 12.24

أعِد ترتيب $\frac{i}{12}$ و $\frac{1}{4}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{1}{4} + \frac{i}{12} & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

خطوة 12.25

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.25.1

أخرِج العامل $2$ من $12$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{1}{4} + \frac{i}{12} & \frac{i}{2 (6)} \cdot 2 \end{array}]$

خطوة 12.25.2

ألغِ العامل المشترك.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{1}{4} + \frac{i}{12} & \frac{i}{2 \cdot 6} \cdot 2 \end{array}]$

خطوة 12.25.3

أعِد كتابة العبارة.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{1}{4} + \frac{i}{12} & \frac{i}{6} \end{array}]$