الجبر الخطي الأمثلة

$[\begin{array}{c} 1000 & 100 & 10 \\ 300 & 20 & 1 \\ 60 & 2 & 0 \end{array}]$

خطوة 1

Find the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $3$ by its cofactor and add.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

خطوة 1.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

خطوة 1.1.3

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 100 & 10 \\ 20 & 1 \end{array} |$

خطوة 1.1.4

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$60 | \begin{array}{c} 100 & 10 \\ 20 & 1 \end{array} |$

خطوة 1.1.5

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1000 & 10 \\ 300 & 1 \end{array} |$

خطوة 1.1.6

Multiply element $a_{32}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} 1000 & 10 \\ 300 & 1 \end{array} |$

خطوة 1.1.7

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1000 & 100 \\ 300 & 20 \end{array} |$

خطوة 1.1.8

Multiply element $a_{33}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1000 & 100 \\ 300 & 20 \end{array} |$

خطوة 1.1.9

Add the terms together.

$60 | \begin{array}{c} 100 & 10 \\ 20 & 1 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1000 & 10 \\ 300 & 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1000 & 100 \\ 300 & 20 \end{array} |$

خطوة 1.2

اضرب $0$ في $| \begin{array}{c} 1000 & 100 \\ 300 & 20 \end{array} |$ .

$60 | \begin{array}{c} 100 & 10 \\ 20 & 1 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1000 & 10 \\ 300 & 1 \end{array} | + 0$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} 100 & 10 \\ 20 & 1 \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$60 (100 \cdot 1 - 20 \cdot 10) - 2 | \begin{array}{c} 1000 & 10 \\ 300 & 1 \end{array} | + 0$

خطوة 1.3.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1.1

اضرب $100$ في $1$ .

$60 (100 - 20 \cdot 10) - 2 | \begin{array}{c} 1000 & 10 \\ 300 & 1 \end{array} | + 0$

خطوة 1.3.2.1.2

اضرب $- 20$ في $10$ .

$60 (100 - 200) - 2 | \begin{array}{c} 1000 & 10 \\ 300 & 1 \end{array} | + 0$

خطوة 1.3.2.2

اطرح $200$ من $100$ .

$60 \cdot - 100 - 2 | \begin{array}{c} 1000 & 10 \\ 300 & 1 \end{array} | + 0$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} 1000 & 10 \\ 300 & 1 \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$60 \cdot - 100 - 2 (1000 \cdot 1 - 300 \cdot 10) + 0$

خطوة 1.4.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1.1

اضرب $1000$ في $1$ .

$60 \cdot - 100 - 2 (1000 - 300 \cdot 10) + 0$

خطوة 1.4.2.1.2

اضرب $- 300$ في $10$ .

$60 \cdot - 100 - 2 (1000 - 3000) + 0$

خطوة 1.4.2.2

اطرح $3000$ من $1000$ .

$60 \cdot - 100 - 2 \cdot - 2000 + 0$

خطوة 1.5

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

اضرب $60$ في $- 100$ .

$- 6000 - 2 \cdot - 2000 + 0$

خطوة 1.5.1.2

اضرب $- 2$ في $- 2000$ .

$- 6000 + 4000 + 0$

خطوة 1.5.2

أضف $- 6000$ و $4000$ .

$- 2000 + 0$

خطوة 1.5.3

أضف $- 2000$ و $0$ .

$- 2000$

خطوة 2

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

خطوة 3

Set up a $3 \times 6$ matrix where the left half is the original matrix and the right half is its identity matrix.

$[\begin{array}{c} 1000 & 100 & 10 & 1 & 0 & 0 \\ 300 & 20 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 60 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 4

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{1000}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{1000}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1000}{1000} & \frac{100}{1000} & \frac{10}{1000} & \frac{1}{1000} & \frac{0}{1000} & \frac{0}{1000} \\ 300 & 20 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 60 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 4.1.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{10} & \frac{1}{100} & \frac{1}{1000} & 0 & 0 \\ 300 & 20 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 60 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 4.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 300 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 300 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{10} & \frac{1}{100} & \frac{1}{1000} & 0 & 0 \\ 300 - 300 \cdot 1 & 20 - 300 (\frac{1}{10}) & 1 - 300 (\frac{1}{100}) & 0 - 300 (\frac{1}{1000}) & 1 - 300 \cdot 0 & 0 - 300 \cdot 0 \\ 60 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{10} & \frac{1}{100} & \frac{1}{1000} & 0 & 0 \\ 0 & - 10 & - 2 & - \frac{3}{10} & 1 & 0 \\ 60 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 4.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 60 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 60 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{10} & \frac{1}{100} & \frac{1}{1000} & 0 & 0 \\ 0 & - 10 & - 2 & - \frac{3}{10} & 1 & 0 \\ 60 - 60 \cdot 1 & 2 - 60 (\frac{1}{10}) & 0 - 60 (\frac{1}{100}) & 0 - 60 (\frac{1}{1000}) & 0 - 60 \cdot 0 & 1 - 60 \cdot 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{10} & \frac{1}{100} & \frac{1}{1000} & 0 & 0 \\ 0 & - 10 & - 2 & - \frac{3}{10} & 1 & 0 \\ 0 & - 4 & - \frac{3}{5} & - \frac{3}{50} & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 4.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{10}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{10}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{10} & \frac{1}{100} & \frac{1}{1000} & 0 & 0 \\ - \frac{1}{10} \cdot 0 & - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot - 2 & - \frac{1}{10} (- \frac{3}{10}) & - \frac{1}{10} \cdot 1 & - \frac{1}{10} \cdot 0 \\ 0 & - 4 & - \frac{3}{5} & - \frac{3}{50} & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 4.4.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{10} & \frac{1}{100} & \frac{1}{1000} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & \frac{3}{100} & - \frac{1}{10} & 0 \\ 0 & - 4 & - \frac{3}{5} & - \frac{3}{50} & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 4.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 4 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 4 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{10} & \frac{1}{100} & \frac{1}{1000} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & \frac{3}{100} & - \frac{1}{10} & 0 \\ 0 + 4 \cdot 0 & - 4 + 4 \cdot 1 & - \frac{3}{5} + 4 (\frac{1}{5}) & - \frac{3}{50} + 4 (\frac{3}{100}) & 0 + 4 (- \frac{1}{10}) & 1 + 4 \cdot 0 \end{array}]$

خطوة 4.5.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{10} & \frac{1}{100} & \frac{1}{1000} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & \frac{3}{100} & - \frac{1}{10} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{5} & \frac{3}{50} & - \frac{2}{5} & 1 \end{array}]$

خطوة 4.6

Multiply each element of $R_{3}$ by $5$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $5$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{10} & \frac{1}{100} & \frac{1}{1000} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & \frac{3}{100} & - \frac{1}{10} & 0 \\ 5 \cdot 0 & 5 \cdot 0 & 5 (\frac{1}{5}) & 5 (\frac{3}{50}) & 5 (- \frac{2}{5}) & 5 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.6.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{10} & \frac{1}{100} & \frac{1}{1000} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & \frac{3}{100} & - \frac{1}{10} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{3}{10} & - 2 & 5 \end{array}]$

خطوة 4.7

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{5} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{5} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{10} & \frac{1}{100} & \frac{1}{1000} & 0 & 0 \\ 0 - \frac{1}{5} \cdot 0 & 1 - \frac{1}{5} \cdot 0 & \frac{1}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1 & \frac{3}{100} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{10} & - \frac{1}{10} - \frac{1}{5} \cdot - 2 & 0 - \frac{1}{5} \cdot 5 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{3}{10} & - 2 & 5 \end{array}]$

خطوة 4.7.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{10} & \frac{1}{100} & \frac{1}{1000} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{3}{100} & \frac{3}{10} & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{3}{10} & - 2 & 5 \end{array}]$

خطوة 4.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{100} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{100} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{100} \cdot 0 & \frac{1}{10} - \frac{1}{100} \cdot 0 & \frac{1}{100} - \frac{1}{100} \cdot 1 & \frac{1}{1000} - \frac{1}{100} \cdot \frac{3}{10} & 0 - \frac{1}{100} \cdot - 2 & 0 - \frac{1}{100} \cdot 5 \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{3}{100} & \frac{3}{10} & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{3}{10} & - 2 & 5 \end{array}]$

خطوة 4.8.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{10} & 0 & - \frac{1}{500} & \frac{1}{50} & - \frac{1}{20} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{3}{100} & \frac{3}{10} & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{3}{10} & - 2 & 5 \end{array}]$

خطوة 4.9

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{10} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{10} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{10} \cdot 0 & \frac{1}{10} - \frac{1}{10} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{10} \cdot 0 & - \frac{1}{500} - \frac{1}{10} (- \frac{3}{100}) & \frac{1}{50} - \frac{1}{10} \cdot \frac{3}{10} & - \frac{1}{20} - \frac{1}{10} \cdot - 1 \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{3}{100} & \frac{3}{10} & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{3}{10} & - 2 & 5 \end{array}]$

خطوة 4.9.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{1000} & - \frac{1}{100} & \frac{1}{20} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{3}{100} & \frac{3}{10} & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{3}{10} & - 2 & 5 \end{array}]$

خطوة 5

The right half of the reduced row echelon form is the inverse.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{1000} & - \frac{1}{100} & \frac{1}{20} \\ - \frac{3}{100} & \frac{3}{10} & - 1 \\ \frac{3}{10} & - 2 & 5 \end{array}]$