الجبر الخطي الأمثلة

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & - \frac{1}{6} \\ \frac{1}{3} & \frac{4}{3} \end{array}]$

خطوة 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

خطوة 2

Find the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{6})$

خطوة 2.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{4}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{- 1}{4} \cdot \frac{4}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{6})$

خطوة 2.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 1}{4} \cdot \frac{4}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{6})$

خطوة 2.2.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{6})$

خطوة 2.2.1.2

اضرب $- \frac{1}{3} (- \frac{1}{6})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- \frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3}) \frac{1}{6}$

خطوة 2.2.1.2.2

اضرب $\frac{1}{3}$ في $1$ .

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6}$

خطوة 2.2.1.2.3

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \cdot 6}$

خطوة 2.2.1.2.4

اضرب $3$ في $6$ .

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{18}$

خطوة 2.2.2

لكتابة $- \frac{1}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{6}{6}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{6} + \frac{1}{18}$

خطوة 2.2.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $18$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{6}{6}$ .

$- \frac{6}{3 \cdot 6} + \frac{1}{18}$

خطوة 2.2.3.2

اضرب $3$ في $6$ .

$- \frac{6}{18} + \frac{1}{18}$

خطوة 2.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 6 + 1}{18}$

خطوة 2.2.5

أضف $- 6$ و $1$ .

$\frac{- 5}{18}$

خطوة 2.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{5}{18}$

خطوة 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

خطوة 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- \frac{5}{18}} [\begin{array}{c} \frac{4}{3} & \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{3} & - \frac{1}{4} \end{array}]$

خطوة 5

احذِف العامل المشترك لـ $1$ و $- 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- \frac{5}{18}} [\begin{array}{c} \frac{4}{3} & \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{3} & - \frac{1}{4} \end{array}]$

خطوة 5.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{\frac{5}{18}} [\begin{array}{c} \frac{4}{3} & \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{3} & - \frac{1}{4} \end{array}]$

خطوة 6

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- (1 (\frac{18}{5})) [\begin{array}{c} \frac{4}{3} & \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{3} & - \frac{1}{4} \end{array}]$

خطوة 7

اضرب $\frac{18}{5}$ في $1$ .

$- \frac{18}{5} [\begin{array}{c} \frac{4}{3} & \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{3} & - \frac{1}{4} \end{array}]$

خطوة 8

اضرب $- \frac{18}{5}$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$[\begin{array}{c} - \frac{18}{5} \cdot \frac{4}{3} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

خطوة 9

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{18}{5}$ إلى بسط الكسر.

$[\begin{array}{c} \frac{- 18}{5} \cdot \frac{4}{3} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

خطوة 9.1.2

أخرِج العامل $3$ من $- 18$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 (- 6)}{5} \cdot \frac{4}{3} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

خطوة 9.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$[\begin{array}{c} \frac{3 \cdot - 6}{5} \cdot \frac{4}{3} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

خطوة 9.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$[\begin{array}{c} \frac{- 6}{5} \cdot 4 & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

خطوة 9.2

اجمع $\frac{- 6}{5}$ و $4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 6 \cdot 4}{5} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

خطوة 9.3

اضرب $- 6$ في $4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 24}{5} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

خطوة 9.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

خطوة 9.5

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{18}{5}$ إلى بسط الكسر.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & \frac{- 18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

خطوة 9.5.2

أخرِج العامل $6$ من $- 18$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & \frac{6 (- 3)}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

خطوة 9.5.3

ألغِ العامل المشترك.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & \frac{6 \cdot - 3}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

خطوة 9.5.4

أعِد كتابة العبارة.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & \frac{- 3}{5} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

خطوة 9.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

خطوة 9.7

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.7.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{18}{5}$ إلى بسط الكسر.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{- 18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

خطوة 9.7.2

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{3}$ إلى بسط الكسر.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{- 18}{5} \cdot \frac{- 1}{3} & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

خطوة 9.7.3

أخرِج العامل $3$ من $- 18$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{3 (- 6)}{5} \cdot \frac{- 1}{3} & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

خطوة 9.7.4

ألغِ العامل المشترك.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{3 \cdot - 6}{5} \cdot \frac{- 1}{3} & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

خطوة 9.7.5

أعِد كتابة العبارة.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{- 6}{5} \cdot - 1 & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

خطوة 9.8

اجمع $\frac{- 6}{5}$ و $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{- 6 \cdot - 1}{5} & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

خطوة 9.9

اضرب $- 6$ في $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

خطوة 9.10

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.10.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{18}{5}$ إلى بسط الكسر.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{- 18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

خطوة 9.10.2

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{4}$ إلى بسط الكسر.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{- 18}{5} \cdot \frac{- 1}{4} \end{array}]$

خطوة 9.10.3

أخرِج العامل $2$ من $- 18$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{2 (- 9)}{5} \cdot \frac{- 1}{4} \end{array}]$

خطوة 9.10.4

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{2 \cdot - 9}{5} \cdot \frac{- 1}{2 \cdot 2} \end{array}]$

خطوة 9.10.5

ألغِ العامل المشترك.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{2 \cdot - 9}{5} \cdot \frac{- 1}{2 \cdot 2} \end{array}]$

خطوة 9.10.6

أعِد كتابة العبارة.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{- 9}{5} \cdot \frac{- 1}{2} \end{array}]$

خطوة 9.11

اضرب $\frac{- 9}{5}$ في $\frac{- 1}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{- 9 \cdot - 1}{5 \cdot 2} \end{array}]$

خطوة 9.12

اضرب $- 9$ في $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{9}{5 \cdot 2} \end{array}]$

خطوة 9.13

اضرب $5$ في $2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{9}{10} \end{array}]$