الجبر الخطي الأمثلة

$10 x + 2 y = 6$ , $- 25 x + k y = - 14$

خطوة 1

اكتب سلسلة المعادلات في شكل مصفوفة.

$[\begin{array}{c} 0 & 10 & 2 & 6 \\ y & - 25 & 0 & - 14 \end{array}]$

خطوة 2

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

Swap $R_{2}$ with $R_{1}$ to put a nonzero entry at $1, 1$ .

$[\begin{array}{c} y & - 25 & 0 & - 14 \\ 0 & 10 & 2 & 6 \end{array}]$

خطوة 2.2

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{y}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{y}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{y}{y} & \frac{- 25}{y} & \frac{0}{y} & \frac{- 14}{y} \\ 0 & 10 & 2 & 6 \end{array}]$

خطوة 2.2.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{25}{y} & 0 & - \frac{14}{y} \\ 0 & 10 & 2 & 6 \end{array}]$

خطوة 2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{10}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{10}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{25}{y} & 0 & - \frac{14}{y} \\ \frac{0}{10} & \frac{10}{10} & \frac{2}{10} & \frac{6}{10} \end{array}]$

خطوة 2.3.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{25}{y} & 0 & - \frac{14}{y} \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & \frac{3}{5} \end{array}]$

خطوة 2.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{25}{y} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{25}{y} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{25}{y} \cdot 0 & - \frac{25}{y} + \frac{25}{y} \cdot 1 & 0 + \frac{25}{y} \cdot \frac{1}{5} & - \frac{14}{y} + \frac{25}{y} \cdot \frac{3}{5} \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & \frac{3}{5} \end{array}]$

خطوة 2.4.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{5}{y} & \frac{1}{y} \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & \frac{3}{5} \end{array}]$

خطوة 3

استخدِم مصفوفة النتيجة لبيان الحلول النهائية لسلسلة المعادلات.

$k + \frac{5 y}{y} = \frac{1}{y}$

$x + \frac{y}{5} = \frac{3}{5}$

خطوة 4

أوجِد قيمة $k$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على متغيرات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

اطرح $\frac{1}{y}$ من كلا المتعادلين.

$k + \frac{5 y}{y} - \frac{1}{y} = 0$

$x + \frac{y}{5} = \frac{3}{5}$

خطوة 4.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$k + \frac{5 y}{y} - \frac{1}{y} = 0$

$x + \frac{y}{5} = \frac{3}{5}$

خطوة 4.1.2.2

اقسِم $5$ على $1$ .

$k + 5 - \frac{1}{y} = 0$

$x + \frac{y}{5} = \frac{3}{5}$

$k + 5 - \frac{1}{y} = 0$

$x + \frac{y}{5} = \frac{3}{5}$

$k + 5 - \frac{1}{y} = 0$

$x + \frac{y}{5} = \frac{3}{5}$

خطوة 4.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $k$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اطرح $5$ من كلا المتعادلين.

$k - \frac{1}{y} = - 5$

$x + \frac{y}{5} = \frac{3}{5}$

خطوة 4.2.2

أضف $\frac{1}{y}$ إلى كلا المتعادلين.

$k = - 5 + \frac{1}{y}$

$x + \frac{y}{5} = \frac{3}{5}$

$k = - 5 + \frac{1}{y}$

$x + \frac{y}{5} = \frac{3}{5}$

$k = - 5 + \frac{1}{y}$

$x + \frac{y}{5} = \frac{3}{5}$

خطوة 5

اطرح $\frac{y}{5}$ من كلا المتعادلين.

$x = \frac{3}{5} - \frac{y}{5}$

$k = - 5 + \frac{1}{y}$

خطوة 6

الحل هو مجموعة الأزواج المرتبة التي تجعل النظام صحيحًا.

$(- 5 + \frac{1}{y}, \frac{3}{5} - \frac{y}{5}, y)$

خطوة 7

حلّل متجه الحل بإعادة ترتيب كل معادلة ممثلة بالصيغة المختزلة صفيًا للمصفوفة الموسّعة من خلال إيجاد المتغير غير المستقل في كل صف ينتج عنه تساوي المتجه.

$X = [\begin{array}{c} k \\ x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 5 + \frac{1}{y} \\ \frac{3}{5} - \frac{y}{5} \\ y \end{array}]$