الجبر الخطي الأمثلة

$5 a + 3 b = 35$ , $\frac{a}{b} = \frac{2}{5}$

خطوة 1

اكتب سلسلة المعادلات في شكل مصفوفة.

$[\begin{array}{c} 5 & 3 & 35 \\ \frac{1}{b} & 0 & \frac{2}{5} \end{array}]$

خطوة 2

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{5} & \frac{3}{5} & \frac{35}{5} \\ \frac{1}{b} & 0 & \frac{2}{5} \end{array}]$

خطوة 2.1.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{5} & 7 \\ \frac{1}{b} & 0 & \frac{2}{5} \end{array}]$

خطوة 2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{b} R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{b} R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{5} & 7 \\ \frac{1}{b} - \frac{1}{b} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{b} \cdot \frac{3}{5} & \frac{2}{5} - \frac{1}{b} \cdot 7 \end{array}]$

خطوة 2.2.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{5} & 7 \\ 0 & - \frac{3}{5 b} & \frac{2}{5} - \frac{7}{b} \end{array}]$

خطوة 2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{5 b}{3}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{5 b}{3}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{5} & 7 \\ - \frac{5 b}{3} \cdot 0 & - \frac{5 b}{3} (- \frac{3}{5 b}) & - \frac{5 b}{3} (\frac{2}{5} - \frac{7}{b}) \end{array}]$

خطوة 2.3.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{5} & 7 \\ 0 & 1 & - \frac{2 b}{3} + \frac{35}{3} \end{array}]$

خطوة 2.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3}{5} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3}{5} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3}{5} \cdot 0 & \frac{3}{5} - \frac{3}{5} \cdot 1 & 7 - \frac{3}{5} (- \frac{2 b}{3} + \frac{35}{3}) \\ 0 & 1 & - \frac{2 b}{3} + \frac{35}{3} \end{array}]$

خطوة 2.4.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{2 b}{5} \\ 0 & 1 & - \frac{2 b}{3} + \frac{35}{3} \end{array}]$

خطوة 3

استخدِم مصفوفة النتيجة لبيان الحلول النهائية لسلسلة المعادلات.

$a = \frac{2 b}{5}$

$b = - \frac{2 b}{3} + \frac{35}{3}$

خطوة 4

أوجِد قيمة $b$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $b$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أضف $\frac{2 b}{3}$ إلى كلا المتعادلين.

$b + \frac{2 b}{3} = \frac{35}{3}$

$a = \frac{2 b}{5}$

خطوة 4.1.2

لكتابة $b$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$b \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 b}{3} = \frac{35}{3}$

$a = \frac{2 b}{5}$

خطوة 4.1.3

اجمع $b$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{b \cdot 3}{3} + \frac{2 b}{3} = \frac{35}{3}$

$a = \frac{2 b}{5}$

خطوة 4.1.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{b \cdot 3 + 2 b}{3} = \frac{35}{3}$

$a = \frac{2 b}{5}$

خطوة 4.1.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.1

انقُل $3$ إلى يسار $b$ .

$\frac{3 \cdot b + 2 b}{3} = \frac{35}{3}$

$a = \frac{2 b}{5}$

خطوة 4.1.5.2

أضف $3 b$ و $2 b$ .

$\frac{5 b}{3} = \frac{35}{3}$

$a = \frac{2 b}{5}$

$\frac{5 b}{3} = \frac{35}{3}$

$a = \frac{2 b}{5}$

$\frac{5 b}{3} = \frac{35}{3}$

$a = \frac{2 b}{5}$

خطوة 4.2

بما أن العبارة في كل متعادل لها نفس القاسم، إذن يجب أن يكون البسطان متساويين.

$5 b = 35$

$a = \frac{2 b}{5}$

خطوة 4.3

اقسِم كل حد في $5 b = 35$ على $5$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اقسِم كل حد في $5 b = 35$ على $5$ .

$\frac{5 b}{5} = \frac{35}{5}$

$a = \frac{2 b}{5}$

خطوة 4.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 b}{5} = \frac{35}{5}$

$a = \frac{2 b}{5}$

خطوة 4.3.2.1.2

اقسِم $b$ على $1$ .

$b = \frac{35}{5}$

$a = \frac{2 b}{5}$

$b = \frac{35}{5}$

$a = \frac{2 b}{5}$

$b = \frac{35}{5}$

$a = \frac{2 b}{5}$

خطوة 4.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

اقسِم $35$ على $5$ .

$b = 7$

$a = \frac{2 b}{5}$

$b = 7$

$a = \frac{2 b}{5}$

$b = 7$

$a = \frac{2 b}{5}$

$b = 7$

$a = \frac{2 b}{5}$

خطوة 5

الحل هو مجموعة الأزواج المرتبة التي تجعل النظام صحيحًا.

$(\frac{2 b}{5}, 7)$

خطوة 6

حلّل متجه الحل بإعادة ترتيب كل معادلة ممثلة بالصيغة المختزلة صفيًا للمصفوفة الموسّعة من خلال إيجاد المتغير غير المستقل في كل صف ينتج عنه تساوي المتجه.

$X = [\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{2 b}{5} \\ 7 \end{array}]$