الجبر الخطي الأمثلة

$(x + y + z) = 2$ , $(2 x + y - z) = - 1$ , $(5 - 2 z) = x$

خطوة 1

احذِف الأقواس.

$x + y + z = 2, 2 x + y - z = - 1, 5 - 2 z = x$

خطوة 2

اطرح $5$ من كلا المتعادلين.

$x + y + z = 2, 2 x + y - z = - 1, - 2 z = x - 5$

خطوة 3

اطرح $x$ من كلا المتعادلين.

$x + y + z = 2, 2 x + y - z = - 1, - 2 z - x = - 5$

خطوة 4

اكتب سلسلة المعادلات في شكل مصفوفة.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 2 & - 5 \end{array}]$

خطوة 5

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot 1 & - 1 - 2 \cdot 1 & - 1 - 2 \cdot 2 \\ - 1 & 0 & - 2 & - 5 \end{array}]$

خطوة 5.1.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & - 1 & - 3 & - 5 \\ - 1 & 0 & - 2 & - 5 \end{array}]$

خطوة 5.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & - 1 & - 3 & - 5 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 1 \cdot 1 & - 2 + 1 \cdot 1 & - 5 + 1 \cdot 2 \end{array}]$

خطوة 5.2.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & - 1 & - 3 & - 5 \\ 0 & 1 & - 1 & - 3 \end{array}]$

خطوة 5.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ - 0 & - - 1 & - - 3 & - - 5 \\ 0 & 1 & - 1 & - 3 \end{array}]$

خطوة 5.3.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & - 1 & - 3 \end{array}]$

خطوة 5.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 5 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & - 1 - 3 & - 3 - 5 \end{array}]$

خطوة 5.4.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & - 4 & - 8 \end{array}]$

خطوة 5.5

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{1}{4}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{1}{4}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 5 \\ - \frac{1}{4} \cdot 0 & - \frac{1}{4} \cdot 0 & - \frac{1}{4} \cdot - 4 & - \frac{1}{4} \cdot - 8 \end{array}]$

خطوة 5.5.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

خطوة 5.6

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 - 3 \cdot 0 & 1 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 5 - 3 \cdot 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

خطوة 5.6.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

خطوة 5.7

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 0 & 1 - 1 & 2 - 2 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

خطوة 5.7.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

خطوة 5.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 0 + 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

خطوة 5.8.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

خطوة 6

استخدِم مصفوفة النتيجة لبيان الحلول النهائية لسلسلة المعادلات.

$x = 1$

$y = - 1$

$z = 2$

خطوة 7

الحل هو مجموعة الأزواج المرتبة التي تجعل النظام صحيحًا.

$(1, - 1, 2)$

خطوة 8

حلّل متجه الحل بإعادة ترتيب كل معادلة ممثلة بالصيغة المختزلة صفيًا للمصفوفة الموسّعة من خلال إيجاد المتغير غير المستقل في كل صف ينتج عنه تساوي المتجه.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 2 \end{array}]$