الجبر الخطي الأمثلة

$x + 2 y - 4 z = 4$ , $- 3 x - 6 y + 12 z = - 12$

خطوة 1

اكتب سلسلة المعادلات في شكل مصفوفة.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 4 \\ - 3 & - 6 & 12 & - 12 \end{array}]$

خطوة 2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 4 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & - 6 + 3 \cdot 2 & 12 + 3 \cdot - 4 & - 12 + 3 \cdot 4 \end{array}]$

خطوة 2.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 3

استخدِم مصفوفة النتيجة لبيان الحلول النهائية لسلسلة المعادلات.

$x + 2 y - 4 z = 4$

خطوة 4

أوجِد قيمة $y$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

اطرح $x$ من كلا المتعادلين.

$2 y - 4 z = 4 - x$

خطوة 4.1.2

أضف $4 z$ إلى كلا المتعادلين.

$2 y = 4 - x + 4 z$

خطوة 4.2

اقسِم كل حد في $2 y = 4 - x + 4 z$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اقسِم كل حد في $2 y = 4 - x + 4 z$ على $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{4}{2} + \frac{- x}{2} + \frac{4 z}{2}$

خطوة 4.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y}{2} = \frac{4}{2} + \frac{- x}{2} + \frac{4 z}{2}$

خطوة 4.2.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{4}{2} + \frac{- x}{2} + \frac{4 z}{2}$

خطوة 4.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1.1

اقسِم $4$ على $2$ .

$y = 2 + \frac{- x}{2} + \frac{4 z}{2}$

خطوة 4.2.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = 2 - \frac{x}{2} + \frac{4 z}{2}$

خطوة 4.2.3.1.3

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1.3.1

أخرِج العامل $2$ من $4 z$ .

$y = 2 - \frac{x}{2} + \frac{2 (2 z)}{2}$

خطوة 4.2.3.1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$y = 2 - \frac{x}{2} + \frac{2 (2 z)}{2 (1)}$

خطوة 4.2.3.1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = 2 - \frac{x}{2} + \frac{2 (2 z)}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.3.1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = 2 - \frac{x}{2} + \frac{2 z}{1}$

خطوة 4.2.3.1.3.2.4

اقسِم $2 z$ على $1$ .

$y = 2 - \frac{x}{2} + 2 z$

خطوة 5

الحل هو مجموعة الأزواج المرتبة التي تجعل النظام صحيحًا.

$(x, 2 - \frac{x}{2} + 2 z, z)$

خطوة 6

حلّل متجه الحل بإعادة ترتيب كل معادلة ممثلة بالصيغة المختزلة صفيًا للمصفوفة الموسّعة من خلال إيجاد المتغير غير المستقل في كل صف ينتج عنه تساوي المتجه.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ 2 - \frac{x}{2} + 2 z \\ z \end{array}]$