الجبر الخطي الأمثلة

$x - 9 y = z - 17$ , $x = 7 + y - z$ , $x + y - z = 3$

خطوة 1

اطرح $z$ من كلا المتعادلين.

$x - 9 y - z = - 17, x = 7 + y - z, x + y - z = 3$

خطوة 2

انقُل كل الحدود التي تحتوي على متغيرات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اطرح $y$ من كلا المتعادلين.

$x - 9 y - z = - 17, x - y = 7 - z, x + y - z = 3$

خطوة 2.2

أضف $z$ إلى كلا المتعادلين.

$x - 9 y - z = - 17, x - y + z = 7, x + y - z = 3$

خطوة 3

اكتب سلسلة المعادلات في شكل مصفوفة.

$[\begin{array}{c} 1 & - 9 & - 1 & - 17 \\ 1 & - 1 & 1 & 7 \\ 1 & 1 & - 1 & 3 \end{array}]$

خطوة 4

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 9 & - 1 & - 17 \\ 1 - 1 & - 1 + 9 & 1 + 1 & 7 + 17 \\ 1 & 1 & - 1 & 3 \end{array}]$

خطوة 4.1.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 9 & - 1 & - 17 \\ 0 & 8 & 2 & 24 \\ 1 & 1 & - 1 & 3 \end{array}]$

خطوة 4.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 9 & - 1 & - 17 \\ 0 & 8 & 2 & 24 \\ 1 - 1 & 1 + 9 & - 1 + 1 & 3 + 17 \end{array}]$

خطوة 4.2.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 9 & - 1 & - 17 \\ 0 & 8 & 2 & 24 \\ 0 & 10 & 0 & 20 \end{array}]$

خطوة 4.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{8}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{8}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 9 & - 1 & - 17 \\ \frac{0}{8} & \frac{8}{8} & \frac{2}{8} & \frac{24}{8} \\ 0 & 10 & 0 & 20 \end{array}]$

خطوة 4.3.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 9 & - 1 & - 17 \\ 0 & 1 & \frac{1}{4} & 3 \\ 0 & 10 & 0 & 20 \end{array}]$

خطوة 4.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 10 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 10 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 9 & - 1 & - 17 \\ 0 & 1 & \frac{1}{4} & 3 \\ 0 - 10 \cdot 0 & 10 - 10 \cdot 1 & 0 - 10 (\frac{1}{4}) & 20 - 10 \cdot 3 \end{array}]$

خطوة 4.4.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 9 & - 1 & - 17 \\ 0 & 1 & \frac{1}{4} & 3 \\ 0 & 0 & - \frac{5}{2} & - 10 \end{array}]$

خطوة 4.5

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{2}{5}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{2}{5}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 9 & - 1 & - 17 \\ 0 & 1 & \frac{1}{4} & 3 \\ - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} (- \frac{5}{2}) & - \frac{2}{5} \cdot - 10 \end{array}]$

خطوة 4.5.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 9 & - 1 & - 17 \\ 0 & 1 & \frac{1}{4} & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}]$

خطوة 4.6

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{4} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{4} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 9 & - 1 & - 17 \\ 0 - \frac{1}{4} \cdot 0 & 1 - \frac{1}{4} \cdot 0 & \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1 & 3 - \frac{1}{4} \cdot 4 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}]$

خطوة 4.6.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 9 & - 1 & - 17 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}]$

خطوة 4.7

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 9 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & - 17 + 1 \cdot 4 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}]$

خطوة 4.7.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 9 & 0 & - 13 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}]$

خطوة 4.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 9 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 9 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 9 \cdot 0 & - 9 + 9 \cdot 1 & 0 + 9 \cdot 0 & - 13 + 9 \cdot 2 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}]$

خطوة 4.8.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}]$

خطوة 5

استخدِم مصفوفة النتيجة لبيان الحلول النهائية لسلسلة المعادلات.

$x = 5$

$y = 2$

$z = 4$

خطوة 6

الحل هو مجموعة الأزواج المرتبة التي تجعل النظام صحيحًا.

$(5, 2, 4)$

خطوة 7

حلّل متجه الحل بإعادة ترتيب كل معادلة ممثلة بالصيغة المختزلة صفيًا للمصفوفة الموسّعة من خلال إيجاد المتغير غير المستقل في كل صف ينتج عنه تساوي المتجه.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 5 \\ 2 \\ 4 \end{array}]$