الجبر الخطي الأمثلة

$x + y - z = - 7$ , $6 x - y + z = - 28$ , $- x + 3 y - 2 z = - 1$

خطوة 1

اكتب سلسلة المعادلات في شكل مصفوفة.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 & - 7 \\ 6 & - 1 & 1 & - 28 \\ - 1 & 3 & - 2 & - 1 \end{array}]$

خطوة 2

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 6 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 6 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 & - 7 \\ 6 - 6 \cdot 1 & - 1 - 6 \cdot 1 & 1 - 6 \cdot - 1 & - 28 - 6 \cdot - 7 \\ - 1 & 3 & - 2 & - 1 \end{array}]$

خطوة 2.1.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 & - 7 \\ 0 & - 7 & 7 & 14 \\ - 1 & 3 & - 2 & - 1 \end{array}]$

خطوة 2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 & - 7 \\ 0 & - 7 & 7 & 14 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 3 + 1 \cdot 1 & - 2 - 1 & - 1 - 7 \end{array}]$

خطوة 2.2.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 & - 7 \\ 0 & - 7 & 7 & 14 \\ 0 & 4 & - 3 & - 8 \end{array}]$

خطوة 2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{7}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{7}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 & - 7 \\ - \frac{1}{7} \cdot 0 & - \frac{1}{7} \cdot - 7 & - \frac{1}{7} \cdot 7 & - \frac{1}{7} \cdot 14 \\ 0 & 4 & - 3 & - 8 \end{array}]$

خطوة 2.3.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 & - 7 \\ 0 & 1 & - 1 & - 2 \\ 0 & 4 & - 3 & - 8 \end{array}]$

خطوة 2.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 4 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 4 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 & - 7 \\ 0 & 1 & - 1 & - 2 \\ 0 - 4 \cdot 0 & 4 - 4 \cdot 1 & - 3 - 4 \cdot - 1 & - 8 - 4 \cdot - 2 \end{array}]$

خطوة 2.4.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 & - 7 \\ 0 & 1 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 2.5

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 & - 7 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & - 2 + 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 2.5.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 & - 7 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & - 7 + 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 2.6.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & - 7 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 2.7

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & - 7 + 2 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 2.7.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 5 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 3

استخدِم مصفوفة النتيجة لبيان الحلول النهائية لسلسلة المعادلات.

$x = - 5$

$y = - 2$

$z = 0$

خطوة 4

الحل هو مجموعة الأزواج المرتبة التي تجعل النظام صحيحًا.

$(- 5, - 2, 0)$

خطوة 5

حلّل متجه الحل بإعادة ترتيب كل معادلة ممثلة بالصيغة المختزلة صفيًا للمصفوفة الموسّعة من خلال إيجاد المتغير غير المستقل في كل صف ينتج عنه تساوي المتجه.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - 5 \\ - 2 \\ 0 \end{array}]$