الجبر الخطي الأمثلة

$[\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array}]$

خطوة 1

عيّن الصيغة لإيجاد المعادلة المميزة $p (λ)$ .

$p (λ) = محدِّد (A - λ I_{2})$

خطوة 2

المصفوفة المتطابقة أو مصفوفة الوحدة ذات الحجم $2$ هي المصفوفة المربعة $2 \times 2$ التي تكون فيها جميع العناصر الواقعة على القطر الرئيسي مساوية لواحد بينما تكون جميع عناصرها في أي مكان آخر مساوية لصفر.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 3

عوّض بالقيم المعروفة في $p (λ) = محدِّد (A - λ I_{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $A$ التي تساوي $[\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array}] - λ I_{2})$

خطوة 3.2

عوّض بقيمة $I_{2}$ التي تساوي $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

اضرب $- λ$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.2

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.2.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.3

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.3.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.3.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

خطوة 4.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 3 - λ & 4 + 0 \\ - 2 + 0 & - 4 - λ \end{array}]$

خطوة 4.3

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أضف $4$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 3 - λ & 4 \\ - 2 + 0 & - 4 - λ \end{array}]$

خطوة 4.3.2

أضف $- 2$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 3 - λ & 4 \\ - 2 & - 4 - λ \end{array}]$

خطوة 5

Find the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (3 - λ) (- 4 - λ) - (- 2 \cdot 4)$

خطوة 5.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

وسّع $(3 - λ) (- 4 - λ)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 3 (- 4 - λ) - λ (- 4 - λ) - (- 2 \cdot 4)$

خطوة 5.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 3 \cdot - 4 + 3 (- λ) - λ (- 4 - λ) - (- 2 \cdot 4)$

خطوة 5.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 3 \cdot - 4 + 3 (- λ) - λ \cdot - 4 - λ (- λ) - (- 2 \cdot 4)$

خطوة 5.2.1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.2.1.1

اضرب $3$ في $- 4$ .

$p (λ) = - 12 + 3 (- λ) - λ \cdot - 4 - λ (- λ) - (- 2 \cdot 4)$

خطوة 5.2.1.2.1.2

اضرب $- 1$ في $3$ .

$p (λ) = - 12 - 3 λ - λ \cdot - 4 - λ (- λ) - (- 2 \cdot 4)$

خطوة 5.2.1.2.1.3

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$p (λ) = - 12 - 3 λ + 4 λ - λ (- λ) - (- 2 \cdot 4)$

خطوة 5.2.1.2.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = - 12 - 3 λ + 4 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 2 \cdot 4)$

خطوة 5.2.1.2.1.5

اضرب $λ$ في $λ$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.2.1.5.1

انقُل $λ$ .

$p (λ) = - 12 - 3 λ + 4 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 2 \cdot 4)$

خطوة 5.2.1.2.1.5.2

اضرب $λ$ في $λ$ .

$p (λ) = - 12 - 3 λ + 4 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 2 \cdot 4)$

خطوة 5.2.1.2.1.6

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$p (λ) = - 12 - 3 λ + 4 λ + 1 λ^{2} - (- 2 \cdot 4)$

خطوة 5.2.1.2.1.7

اضرب $λ^{2}$ في $1$ .

$p (λ) = - 12 - 3 λ + 4 λ + λ^{2} - (- 2 \cdot 4)$

خطوة 5.2.1.2.2

أضف $- 3 λ$ و $4 λ$ .

$p (λ) = - 12 + λ + λ^{2} - (- 2 \cdot 4)$

خطوة 5.2.1.3

اضرب $- (- 2 \cdot 4)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.3.1

اضرب $- 2$ في $4$ .

$p (λ) = - 12 + λ + λ^{2} - - 8$

خطوة 5.2.1.3.2

اضرب $- 1$ في $- 8$ .

$p (λ) = - 12 + λ + λ^{2} + 8$

خطوة 5.2.2

أضف $- 12$ و $8$ .

$p (λ) = λ + λ^{2} - 4$

خطوة 5.2.3

أعِد ترتيب $λ$ و $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} + λ - 4$

خطوة 6

عيّن قيمة متعدد الحدود المميز بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد القيم الذاتية $λ$ .

$λ^{2} + λ - 4 = 0$

خطوة 7

أوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 7.2

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = 1$ و $c = - 4$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $λ$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$λ = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$λ = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.2.2

اضرب $- 4$ في $- 4$ .

$λ = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.3

أضف $1$ و $16$ .

$λ = \frac{- 1 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.2

اضرب $2$ في $1$ .

$λ = \frac{- 1 \pm \sqrt{17}}{2}$

خطوة 7.4

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$λ = - \frac{1 - \sqrt{17}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$

خطوة 8

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$λ = - \frac{1 - \sqrt{17}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$

الصيغة العشرية:

$λ = 1.56155281 \dots, - 2.56155281 \dots$