الجبر الخطي الأمثلة

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} y \\ x \end{array}]$

خطوة 1

يحدد التحويل خريطة من $ℝ^{2}$ إلى $ℝ^{2}$ . ولإثبات أن التحويل خطي، يجب أن يحافظ التحويل على ضرب الكميات العددية وجمع المتجهات والمتجه الصفري.

المتوسط: $ℝ^{2} \to ℝ^{2}$

خطوة 2

أولاً، اثبت أن التحويل يحافظ على هذه الخاصية.

$M (x + y) = M (x) + M (y)$

خطوة 3

أنشئ مصفوفتين للتأكد مما إذا كانت خاصية الجمع محفوظة لـ $M$ .

$M ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \end{array}])$

خطوة 4

أضف المصفوفتين.

$M [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \end{array}]$

خطوة 5

طبّق التحويل على المتجه.

$M (x + y) = [\begin{array}{c} x_{2} + y_{2} \\ x_{1} + y_{1} \end{array}]$

خطوة 6

قسّم النتيجة إلى مصفوفتين بتجميع المتغيرات.

$M (x + y) = [\begin{array}{c} x_{2} \\ x_{1} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{2} \\ y_{1} \end{array}]$

خطوة 7

خاصية الجمع للتحويل تنطبق.

$M (x + y) = M (x) + M (y)$

خطوة 8

لكي يكون التحويل خطيًا، يجب أن يحافظ على ضرب الكمية العددية.

$M (p x) = T (p [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}])$

خطوة 9

حلّل $p$ إلى عوامل من كل عنصر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اضرب $p$ في كل عنصر في المصفوفة.

$M (p x) = M ([\begin{array}{c} p x \\ p y \end{array}])$

خطوة 9.2

طبّق التحويل على المتجه.

خطوة 9.3

أعِد ترتيب $p y$ .

$M (p x) = [\begin{array}{c} p y \end{array}]$

خطوة 9.4

حلّل العنصر $0, 0$ إلى عوامل بضرب $p y$ .

$M (p x) = [\begin{array}{c} p (y) \end{array}]$

خطوة 10

الخاصية الثانية للتحويلات الخطية محفوظة في هذا التحويل.

$M (p [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}]) = p M (x)$

خطوة 11

لكي يكون التحويل خطيًا، يجب الحفاظ على المتجه الصفري.

$M (0) = 0$

خطوة 12

طبّق التحويل على المتجه.

$M (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

خطوة 13

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أعِد ترتيب $0$ .

$M (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

خطوة 13.2

أعِد ترتيب $0$ .

$M (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

خطوة 14

التحويل يحافظ على المتجه الصفري.

$M (0) = 0$

خطوة 15

نظرًا إلى عدم استيفائه جميع الخصائص الثلاثة للتحويلات الخطية، إذن هذا ليس تحويلاً خطيًا.

التحويل الخطي