الجبر الخطي الأمثلة

$[\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}]$

خطوة 1

عيّن الصيغة لإيجاد المعادلة المميزة $p (λ)$ .

$p (λ) = محدِّد (A - λ I_{3})$

خطوة 2

المصفوفة المتطابقة أو مصفوفة الوحدة ذات الحجم $3$ هي المصفوفة المربعة $3 \times 3$ التي تكون فيها جميع العناصر الواقعة على القطر الرئيسي مساوية لواحد بينما تكون جميع عناصرها في أي مكان آخر مساوية لصفر.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 3

عوّض بالقيم المعروفة في $p (λ) = محدِّد (A - λ I_{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $A$ التي تساوي $[\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] - λ I_{3})$

خطوة 3.2

عوّض بقيمة $I_{3}$ التي تساوي $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

اضرب $- λ$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.2

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.2.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.3

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.3.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.3.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.4

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.4.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.4.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.6

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.6.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.6.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.7

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.7.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.7.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.8

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.8.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.8.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.9

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

خطوة 4.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 + 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

خطوة 4.3

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أضف $1$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

خطوة 4.3.2

أضف $1$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 & 1 \\ 1 + 0 & 2 - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

خطوة 4.3.3

أضف $1$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

خطوة 4.3.4

أضف $1$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ & 1 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

خطوة 4.3.5

أضف $1$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ & 1 \\ 1 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

خطوة 4.3.6

أضف $1$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 2 - λ \end{array}]$

خطوة 5

Find the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

خطوة 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

خطوة 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$

خطوة 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(2 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$

خطوة 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$

خطوة 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$

خطوة 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

خطوة 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

خطوة 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (2 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

خطوة 5.2

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (2 - λ) ((2 - λ) (2 - λ) - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

خطوة 5.2.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1

وسّع $(2 - λ) (2 - λ)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = (2 - λ) (2 (2 - λ) - λ (2 - λ) - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

خطوة 5.2.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = (2 - λ) (2 \cdot 2 + 2 (- λ) - λ (2 - λ) - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

خطوة 5.2.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = (2 - λ) (2 \cdot 2 + 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

خطوة 5.2.2.1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.2.1.1

اضرب $2$ في $2$ .

$p (λ) = (2 - λ) (4 + 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

خطوة 5.2.2.1.2.1.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$p (λ) = (2 - λ) (4 - 2 λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

خطوة 5.2.2.1.2.1.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ - λ (- λ) - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

خطوة 5.2.2.1.2.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = (2 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

خطوة 5.2.2.1.2.1.5

اضرب $λ$ في $λ$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.2.1.5.1

انقُل $λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

خطوة 5.2.2.1.2.1.5.2

اضرب $λ$ في $λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

خطوة 5.2.2.1.2.1.6

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ + 1 λ^{2} - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

خطوة 5.2.2.1.2.1.7

اضرب $λ^{2}$ في $1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ + λ^{2} - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

خطوة 5.2.2.1.2.2

اطرح $2 λ$ من $- 2 λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (4 - 4 λ + λ^{2} - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

خطوة 5.2.2.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (4 - 4 λ + λ^{2} - 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

خطوة 5.2.2.2

اطرح $1$ من $4$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- 4 λ + λ^{2} + 3) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

خطوة 5.2.2.3

أعِد ترتيب $- 4 λ$ و $λ^{2}$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

خطوة 5.3

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 (1 (2 - λ) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

خطوة 5.3.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

اضرب $2 - λ$ في $1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 (2 - λ - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

خطوة 5.3.2.1.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 (2 - λ - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

خطوة 5.3.2.2

اطرح $1$ من $2$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 (- λ + 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

خطوة 5.4

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 (- λ + 1) + 1 (1 \cdot 1 - (2 - λ))$

خطوة 5.4.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

اضرب $1$ في $1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 (- λ + 1) + 1 (1 - (2 - λ))$

خطوة 5.4.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 (- λ + 1) + 1 (1 - 1 \cdot 2 - - λ)$

خطوة 5.4.2.1.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 (- λ + 1) + 1 (1 - 2 - - λ)$

خطوة 5.4.2.1.4

اضرب $- - λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 (- λ + 1) + 1 (1 - 2 + 1 λ)$

خطوة 5.4.2.1.4.2

اضرب $λ$ في $1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 (- λ + 1) + 1 (1 - 2 + λ)$

خطوة 5.4.2.2

اطرح $2$ من $1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 (- λ + 1) + 1 (- 1 + λ)$

خطوة 5.4.2.3

أعِد ترتيب $- 1$ و $λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

خطوة 5.5

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.1

وسّع $(2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$p (λ) = 2 λ^{2} + 2 (- 4 λ) + 2 \cdot 3 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 3 - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

خطوة 5.5.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.2.1

اضرب $- 4$ في $2$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 8 λ + 2 \cdot 3 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 3 - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

خطوة 5.5.1.2.2

اضرب $2$ في $3$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 8 λ + 6 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 3 - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

خطوة 5.5.1.2.3

اضرب $λ$ في $λ^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.2.3.1

انقُل $λ^{2}$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 8 λ + 6 - (λ^{2} λ) - λ (- 4 λ) - λ \cdot 3 - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

خطوة 5.5.1.2.3.2

اضرب $λ^{2}$ في $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.2.3.2.1

ارفع $λ$ إلى القوة $1$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 8 λ + 6 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 4 λ) - λ \cdot 3 - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

خطوة 5.5.1.2.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$p (λ) = 2 λ^{2} - 8 λ + 6 - λ^{2 + 1} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 3 - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

خطوة 5.5.1.2.3.3

أضف $2$ و $1$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 8 λ + 6 - λ^{3} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 3 - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

خطوة 5.5.1.2.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = 2 λ^{2} - 8 λ + 6 - λ^{3} - 1 \cdot - 4 λ \cdot λ - λ \cdot 3 - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

خطوة 5.5.1.2.5

اضرب $λ$ في $λ$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.2.5.1

انقُل $λ$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 8 λ + 6 - λ^{3} - 1 \cdot - 4 (λ \cdot λ) - λ \cdot 3 - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

خطوة 5.5.1.2.5.2

اضرب $λ$ في $λ$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 8 λ + 6 - λ^{3} - 1 \cdot - 4 λ^{2} - λ \cdot 3 - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

خطوة 5.5.1.2.6

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 8 λ + 6 - λ^{3} + 4 λ^{2} - λ \cdot 3 - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

خطوة 5.5.1.2.7

اضرب $3$ في $- 1$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 8 λ + 6 - λ^{3} + 4 λ^{2} - 3 λ - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

خطوة 5.5.1.3

أضف $2 λ^{2}$ و $4 λ^{2}$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - 8 λ + 6 - λ^{3} - 3 λ - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

خطوة 5.5.1.4

اطرح $3 λ$ من $- 8 λ$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - 11 λ + 6 - λ^{3} - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

خطوة 5.5.1.5

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 6 λ^{2} - 11 λ + 6 - λ^{3} - 1 (- λ) - 1 \cdot 1 + 1 (λ - 1)$

خطوة 5.5.1.6

اضرب $- 1 (- λ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.6.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - 11 λ + 6 - λ^{3} + 1 λ - 1 \cdot 1 + 1 (λ - 1)$

خطوة 5.5.1.6.2

اضرب $λ$ في $1$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - 11 λ + 6 - λ^{3} + λ - 1 \cdot 1 + 1 (λ - 1)$

خطوة 5.5.1.7

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - 11 λ + 6 - λ^{3} + λ - 1 + 1 (λ - 1)$

خطوة 5.5.1.8

اضرب $λ - 1$ في $1$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - 11 λ + 6 - λ^{3} + λ - 1 + λ - 1$

خطوة 5.5.2

أضف $- 11 λ$ و $λ$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - 10 λ + 6 - λ^{3} - 1 + λ - 1$

خطوة 5.5.3

أضف $- 10 λ$ و $λ$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - 9 λ + 6 - λ^{3} - 1 - 1$

خطوة 5.5.4

اطرح $1$ من $6$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - 9 λ - λ^{3} + 5 - 1$

خطوة 5.5.5

اطرح $1$ من $5$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - 9 λ - λ^{3} + 4$

خطوة 5.5.6

انقُل $- 9 λ$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - λ^{3} - 9 λ + 4$

خطوة 5.5.7

أعِد ترتيب $6 λ^{2}$ و $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 6 λ^{2} - 9 λ + 4$

خطوة 6

عيّن قيمة متعدد الحدود المميز بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد القيم الذاتية $λ$ .

$- λ^{3} + 6 λ^{2} - 9 λ + 4 = 0$

خطوة 7

أوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

حلّل $- λ^{3} + 6 λ^{2} - 9 λ + 4$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

خطوة 7.1.1.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

خطوة 7.1.1.3

عوّض بـ $1$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $1$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.3.1

عوّض بـ $1$ في متعدد الحدود.

$- 1^{3} + 6 \cdot 1^{2} - 9 \cdot 1 + 4$

خطوة 7.1.1.3.2

ارفع $1$ إلى القوة $3$ .

$- 1 \cdot 1 + 6 \cdot 1^{2} - 9 \cdot 1 + 4$

خطوة 7.1.1.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1 + 6 \cdot 1^{2} - 9 \cdot 1 + 4$

خطوة 7.1.1.3.4

ارفع $1$ إلى القوة $2$ .

$- 1 + 6 \cdot 1 - 9 \cdot 1 + 4$

خطوة 7.1.1.3.5

اضرب $6$ في $1$ .

$- 1 + 6 - 9 \cdot 1 + 4$

خطوة 7.1.1.3.6

أضف $- 1$ و $6$ .

$5 - 9 \cdot 1 + 4$

خطوة 7.1.1.3.7

اضرب $- 9$ في $1$ .

$5 - 9 + 4$

خطوة 7.1.1.3.8

اطرح $9$ من $5$ .

$- 4 + 4$

خطوة 7.1.1.3.9

أضف $- 4$ و $4$ .

$0$

خطوة 7.1.1.4

بما أن $1$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $λ - 1$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{- λ^{3} + 6 λ^{2} - 9 λ + 4}{λ - 1}$

خطوة 7.1.1.5

اقسِم $- λ^{3} + 6 λ^{2} - 9 λ + 4$ على $λ - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$λ$

$1$

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$9 λ$

$4$

خطوة 7.1.1.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- λ^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $λ$ .

				-	$λ^{2}$
	$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$

خطوة 7.1.1.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$

خطوة 7.1.1.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- λ^{3} + λ^{2}$

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$

خطوة 7.1.1.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$

خطوة 7.1.1.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$	-	$9 λ$

خطوة 7.1.1.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $5 λ^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$5 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$	-	$9 λ$

خطوة 7.1.1.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

			-	$λ^{2}$	+	$5 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$	-	$9 λ$
					+	$5 λ^{2}$	-	$5 λ$

خطوة 7.1.1.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $5 λ^{2} - 5 λ$

			-	$λ^{2}$	+	$5 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$	-	$9 λ$
					-	$5 λ^{2}$	+	$5 λ$

خطوة 7.1.1.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

			-	$λ^{2}$	+	$5 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$	-	$9 λ$
					-	$5 λ^{2}$	+	$5 λ$
							-	$4 λ$

خطوة 7.1.1.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

			-	$λ^{2}$	+	$5 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$	-	$9 λ$
					-	$5 λ^{2}$	+	$5 λ$
							-	$4 λ$	+	$4$

خطوة 7.1.1.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 4 λ$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$5 λ$	-	$4$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$	-	$9 λ$
					-	$5 λ^{2}$	+	$5 λ$
							-	$4 λ$	+	$4$

خطوة 7.1.1.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

			-	$λ^{2}$	+	$5 λ$	-	$4$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$	-	$9 λ$
					-	$5 λ^{2}$	+	$5 λ$
							-	$4 λ$	+	$4$
							-	$4 λ$	+	$4$

خطوة 7.1.1.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 4 λ + 4$

			-	$λ^{2}$	+	$5 λ$	-	$4$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$	-	$9 λ$
					-	$5 λ^{2}$	+	$5 λ$
							-	$4 λ$	+	$4$
							+	$4 λ$	-	$4$

خطوة 7.1.1.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

			-	$λ^{2}$	+	$5 λ$	-	$4$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$	-	$9 λ$
					-	$5 λ^{2}$	+	$5 λ$
							-	$4 λ$	+	$4$
							+	$4 λ$	-	$4$
										$0$

خطوة 7.1.1.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$- λ^{2} + 5 λ - 4$

خطوة 7.1.1.6

اكتب $- λ^{3} + 6 λ^{2} - 9 λ + 4$ في صورة مجموعة من العوامل.

$(λ - 1) (- λ^{2} + 5 λ - 4) = 0$

خطوة 7.1.2

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.1

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.1.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = - 1 \cdot - 4 = 4$ ومجموعهما $b = 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.1.1.1

أخرِج العامل $5$ من $5 λ$ .

$(λ - 1) (- λ^{2} + 5 (λ) - 4) = 0$

خطوة 7.1.2.1.1.2

أعِد كتابة $5$ في صورة $1$ زائد $4$

$(λ - 1) (- λ^{2} + (1 + 4) λ - 4) = 0$

خطوة 7.1.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$(λ - 1) (- λ^{2} + 1 λ + 4 λ - 4) = 0$

خطوة 7.1.2.1.1.4

اضرب $λ$ في $1$ .

$(λ - 1) (- λ^{2} + λ + 4 λ - 4) = 0$

خطوة 7.1.2.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.1.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$(λ - 1) ((- λ^{2} + λ) + 4 λ - 4) = 0$

خطوة 7.1.2.1.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$(λ - 1) (λ (- λ + 1) - 4 (- λ + 1)) = 0$

خطوة 7.1.2.1.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $- λ + 1$ .

$(λ - 1) ((- λ + 1) (λ - 4)) = 0$

خطوة 7.1.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$(λ - 1) (- λ + 1) (λ - 4) = 0$

خطوة 7.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$λ - 1 = 0$

$- λ + 1 = 0$

$λ - 4 = 0$

خطوة 7.3

عيّن قيمة العبارة $λ - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

عيّن قيمة $λ - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$λ - 1 = 0$

خطوة 7.3.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$λ = 1$

خطوة 7.4

عيّن قيمة العبارة $λ - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

عيّن قيمة $λ - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$λ - 4 = 0$

خطوة 7.4.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$λ = 4$

خطوة 7.5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(λ - 1) (- λ + 1) (λ - 4) = 0$ صحيحة.

$λ = 1, 4$