الجبر الخطي الأمثلة

2 x + 3 y - z = 2

$2 x + 3 y - z = 2$

3 x + 5 y + z = 5

$3 x + 5 y + z = 5$

خطوة 1

اكتب السلسلة في صورة مصفوفة.

[\begin{matrix} 2 & 3 & - 1 & 2 3 & 5 & 1 & 5 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 2 & 3 & - 1 & 2 \\ 3 & 5 & 1 & 5 \end{array}]$

خطوة 2

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كل عنصر من

R_{1}

$R_{1}$ في

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ لجعل الإدخال في

1, 1

$1, 1$ يساوي

1

$1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

اضرب كل عنصر من

R_{1}

$R_{1}$ في

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ لجعل الإدخال في

1, 1

$1, 1$ يساوي

1

$1$ .

[\begin{matrix} \frac{2}{2} & \frac{3}{2} & \frac{- 1}{2} & \frac{2}{2} 3 & 5 & 1 & 5 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{3}{2} & \frac{- 1}{2} & \frac{2}{2} \\ 3 & 5 & 1 & 5 \end{array}]$

خطوة 2.1.2

بسّط

R_{1}

$R_{1}$ .

[\begin{matrix} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 3 & 5 & 1 & 5 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 \\ 3 & 5 & 1 & 5 \end{array}]$

[\begin{matrix} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 3 & 5 & 1 & 5 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 \\ 3 & 5 & 1 & 5 \end{array}]$

خطوة 2.2

احسب العملية الصفية

R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ لجعل الإدخال في

2, 1

$2, 1$ يساوي

0

$0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

احسب العملية الصفية

R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ لجعل الإدخال في

2, 1

$2, 1$ يساوي

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 3 - 3 \cdot 1 & 5 - 3 (\frac{3}{2}) & 1 - 3 (- \frac{1}{2}) & 5 - 3 \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 5 - 3 (\frac{3}{2}) & 1 - 3 (- \frac{1}{2}) & 5 - 3 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 2.2.2

بسّط

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 0 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} & 2 \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} & 2 \end{array}]$

⎡ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 0 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} & 2 \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} & 2 \end{array}]$

خطوة 2.3

اضرب كل عنصر من

$R_{2}$ في

$2$ لجعل الإدخال في

$2, 2$ يساوي

$1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اضرب كل عنصر من

$R_{2}$ في

$2$ لجعل الإدخال في

$2, 2$ يساوي

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 \\ 2 \cdot 0 & 2 (\frac{1}{2}) & 2 (\frac{5}{2}) & 2 \cdot 2 \end{array}]$

خطوة 2.3.2

بسّط

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & 1 & 5 & 4 \end{array}]$

خطوة 2.4

احسب العملية الصفية

$R_{1} = R_{1} - \frac{3}{2} R_{2}$ لجعل الإدخال في

$1, 2$ يساوي

$0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

احسب العملية الصفية

$R_{1} = R_{1} - \frac{3}{2} R_{2}$ لجعل الإدخال في

$1, 2$ يساوي

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3}{2} \cdot 0 & \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cdot 1 & - \frac{1}{2} - \frac{3}{2} \cdot 5 & 1 - \frac{3}{2} \cdot 4 \\ 0 & 1 & 5 & 4 \end{array}]$

خطوة 2.4.2

بسّط

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 8 & - 5 \\ 0 & 1 & 5 & 4 \end{array}]$

خطوة 3

استخدِم مصفوفة النتيجة لبيان الحل النهائي لنظام المعادلات.

$x - 8 z = - 5$

$y + 5 z = 4$

خطوة 4

الحل هو مجموعة الأزواج المرتبة التي تجعل النظام صحيحًا.

$(- 5 + 8 z, 4 - 5 z, z)$