الجبر الخطي الأمثلة

$2 + 2 i$

خطوة 1

احسِب المسافة من $(a, b)$ إلى نقطة الأصل باستخدام القاعدة $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{2^{2} + 2^{2}}$

خطوة 2

بسّط $\sqrt{2^{2} + 2^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$r = \sqrt{4 + 2^{2}}$

خطوة 2.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$r = \sqrt{4 + 4}$

خطوة 2.3

أضف $4$ و $4$ .

$r = \sqrt{8}$

خطوة 2.4

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$r = \sqrt{4 (2)}$

خطوة 2.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$r = \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

خطوة 2.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$r = 2 \sqrt{2}$

خطوة 3

احسِب زاوية المرجع $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{2}{2} |)$

خطوة 4

بسّط $\arctan (| \frac{2}{2} |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اقسِم $2$ على $2$ .

$θ̂ = \arctan (| 1 |)$

خطوة 4.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$θ̂ = \arctan (1)$

خطوة 4.3

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (1)$ هي $\frac{π}{4}$ .

$θ̂ = \frac{π}{4}$

خطوة 5

تقع النقطة في الربع الأول لأن كلاً من $x$ و $y$ موجبتان. وتُميّز الأرباع بترتيب عكس اتجاه عقارب الساعة، بدءًا من الربع العلوي الأيمن.

الربع $1$

خطوة 6

$(a, b)$ تقع في الربع الأول. $θ = θ̂$

$θ = \frac{π}{4}$

خطوة 7

استخدِم القاعدة لإيجاد جذور العدد المركّب.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

خطوة 8

عوّض بـ $r$ و $n$ و $θ$ في القاعدة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اجمع ${(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}}$ و $\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π k}{3}$ .

$c i s \frac{{(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k)}{3}$

خطوة 8.2

اجمع $c$ و $\frac{{(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k)}{3}$ .

$i s \frac{c ({(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k))}{3}$

خطوة 8.3

اجمع $i$ و $\frac{c ({(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k))}{3}$ .

$s \frac{i (c ({(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k)))}{3}$

خطوة 8.4

اجمع $s$ و $\frac{i (c ({(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k)))}{3}$ .

$\frac{s (i (c ({(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k))))}{3}$

خطوة 8.5

احذِف الأقواس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1

احذِف الأقواس.

$\frac{s (i (c ({(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{4} + 2 π k))))}{3}$

خطوة 8.5.2

احذِف الأقواس.

$\frac{s (i (c {(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{4} + 2 π k)))}{3}$

خطوة 8.5.3

احذِف الأقواس.

$\frac{s (i (c {(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}}) (\frac{π}{4} + 2 π k))}{3}$

خطوة 8.5.4

احذِف الأقواس.

$\frac{s (i c {(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{4} + 2 π k))}{3}$

خطوة 8.5.5

احذِف الأقواس.

$\frac{s (i c {(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}}) (\frac{π}{4} + 2 π k)}{3}$

خطوة 8.5.6

احذِف الأقواس.

$\frac{s (i c) {(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{4} + 2 π k)}{3}$

خطوة 8.5.7

احذِف الأقواس.

$\frac{s i c {(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{4} + 2 π k)}{3}$

خطوة 9

عوّض بـ $k = 0$ في القاعدة وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

طبّق قاعدة الضرب على $2 \sqrt{2}$ .

$k = 0 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (0)}{3})$

خطوة 9.2

اضرب $2 π (0)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اضرب $0$ في $2$ .

$k = 0 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 0 π}{3})$

خطوة 9.2.2

اضرب $0$ في $π$ .

$k = 0 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 0}{3})$

خطوة 9.3

أضف $\frac{π}{4}$ و $0$ .

$k = 0 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4}}{3})$

خطوة 9.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$k = 0 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3})$

خطوة 9.5

اضرب $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.1

اضرب $\frac{π}{4}$ في $\frac{1}{3}$ .

$k = 0 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{π}{4 \cdot 3})$

خطوة 9.5.2

اضرب $4$ في $3$ .

$k = 0 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{π}{12})$

خطوة 10

عوّض بـ $k = 1$ في القاعدة وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

طبّق قاعدة الضرب على $2 \sqrt{2}$ .

$k = 1 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (1)}{3})$

خطوة 10.2

اضرب $2$ في $1$ .

$k = 1 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 2 π}{3})$

خطوة 10.3

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$k = 1 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 2 π \cdot \frac{4}{4}}{3})$

خطوة 10.4

اجمع $2 π$ و $\frac{4}{4}$ .

$k = 1 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + \frac{2 π \cdot 4}{4}}{3})$

خطوة 10.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$k = 1 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π + 2 π \cdot 4}{4}}{3})$

خطوة 10.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.6.1

اضرب $4$ في $2$ .

$k = 1 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π + 8 π}{4}}{3})$

خطوة 10.6.2

أضف $π$ و $8 π$ .

$k = 1 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{9 π}{4}}{3})$

خطوة 10.7

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$k = 1 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{9 π}{4} \cdot \frac{1}{3})$

خطوة 10.8

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.8.1

أخرِج العامل $3$ من $9 π$ .

$k = 1 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3 (3 π)}{4} \cdot \frac{1}{3})$

خطوة 10.8.2

ألغِ العامل المشترك.

$k = 1 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3 (3 π)}{4} \cdot \frac{1}{3})$

خطوة 10.8.3

أعِد كتابة العبارة.

$k = 1 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3 π}{4})$

خطوة 11

عوّض بـ $k = 2$ في القاعدة وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

طبّق قاعدة الضرب على $2 \sqrt{2}$ .

$k = 2 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (2)}{3})$

خطوة 11.2

اضرب $2$ في $2$ .

$k = 2 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 4 π}{3})$

خطوة 11.3

لكتابة $4 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$k = 2 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 4 π \cdot \frac{4}{4}}{3})$

خطوة 11.4

اجمع $4 π$ و $\frac{4}{4}$ .

$k = 2 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + \frac{4 π \cdot 4}{4}}{3})$

خطوة 11.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$k = 2 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π + 4 π \cdot 4}{4}}{3})$

خطوة 11.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.6.1

اضرب $4$ في $4$ .

$k = 2 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π + 16 π}{4}}{3})$

خطوة 11.6.2

أضف $π$ و $16 π$ .

$k = 2 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{17 π}{4}}{3})$

خطوة 11.7

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$k = 2 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{17 π}{4} \cdot \frac{1}{3})$

خطوة 11.8

اضرب $\frac{17 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.8.1

اضرب $\frac{17 π}{4}$ في $\frac{1}{3}$ .

$k = 2 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{17 π}{4 \cdot 3})$

خطوة 11.8.2

اضرب $4$ في $3$ .

$k = 2 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{17 π}{12})$

خطوة 12

اسرِد الحلول.

$k = 0 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{π}{12})$

$k = 1 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3 π}{4})$

$k = 2 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{17 π}{12})$