الرياضيات المتناهية الأمثلة

$\log (x - 2) + \log (x + 2) > 2 \log (x - 1)$

خطوة 1

حوّل التباين إلى تساوٍ.

$\log (x - 2) + \log (x + 2) = 2 \log (x - 1)$

خطوة 2

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x - 2) (x + 2)) = 2 \log (x - 1)$

خطوة 2.1.2

وسّع $(x - 2) (x + 2)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\log (x (x + 2) - 2 (x + 2)) = 2 \log (x - 1)$

خطوة 2.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\log (x \cdot x + x \cdot 2 - 2 (x + 2)) = 2 \log (x - 1)$

خطوة 2.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\log (x \cdot x + x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2) = 2 \log (x - 1)$

خطوة 2.1.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $x \cdot x + x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1.1

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $x \cdot 2$ و $- 2 x$ .

$\log (x \cdot x + 2 x - 2 x - 2 \cdot 2) = 2 \log (x - 1)$

خطوة 2.1.3.1.2

اطرح $2 x$ من $2 x$ .

$\log (x \cdot x + 0 - 2 \cdot 2) = 2 \log (x - 1)$

خطوة 2.1.3.1.3

أضف $x \cdot x$ و $0$ .

$\log (x \cdot x - 2 \cdot 2) = 2 \log (x - 1)$

خطوة 2.1.3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.2.1

اضرب $x$ في $x$ .

$\log (x^{2} - 2 \cdot 2) = 2 \log (x - 1)$

خطوة 2.1.3.2.2

اضرب $- 2$ في $2$ .

$\log (x^{2} - 4) = 2 \log (x - 1)$

خطوة 2.2

بسّط $2 \log (x - 1)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$\log (x^{2} - 4) = \log ({(x - 1)}^{2})$

خطوة 2.3

لكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن يتساوى المتغير المستقل للوغاريتمات في كلا المتعادلين.

$x^{2} - 4 = {(x - 1)}^{2}$

خطوة 2.4

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بسّط ${(x - 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1.1

أعِد الكتابة.

$x^{2} - 4 = 0 + 0 + {(x - 1)}^{2}$

خطوة 2.4.1.2

أعِد كتابة ${(x - 1)}^{2}$ بالصيغة $(x - 1) (x - 1)$ .

$x^{2} - 4 = (x - 1) (x - 1)$

خطوة 2.4.1.3

وسّع $(x - 1) (x - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} - 4 = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

خطوة 2.4.1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} - 4 = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

خطوة 2.4.1.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} - 4 = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

خطوة 2.4.1.4

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1.4.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$x^{2} - 4 = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

خطوة 2.4.1.4.1.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $x$ .

$x^{2} - 4 = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

خطوة 2.4.1.4.1.3

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$x^{2} - 4 = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

خطوة 2.4.1.4.1.4

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$x^{2} - 4 = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

خطوة 2.4.1.4.1.5

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$x^{2} - 4 = x^{2} - x - x + 1$

خطوة 2.4.1.4.2

اطرح $x$ من $- x$ .

$x^{2} - 4 = x^{2} - 2 x + 1$

خطوة 2.4.2

بما أن $x$ موجودة على المتعادل الأيمن، بدّل الأطراف بحيث تصبح على المتعادل الأيسر.

$x^{2} - 2 x + 1 = x^{2} - 4$

خطوة 2.4.3

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1

اطرح $x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} - 2 x + 1 - x^{2} = - 4$

خطوة 2.4.3.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $x^{2} - 2 x + 1 - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.2.1

اطرح $x^{2}$ من $x^{2}$ .

$- 2 x + 1 + 0 = - 4$

خطوة 2.4.3.2.2

أضف $- 2 x + 1$ و $0$ .

$- 2 x + 1 = - 4$

خطوة 2.4.4

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.4.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- 2 x = - 4 - 1$

خطوة 2.4.4.2

اطرح $1$ من $- 4$ .

$- 2 x = - 5$

خطوة 2.4.5

اقسِم كل حد في $- 2 x = - 5$ على $- 2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.5.1

اقسِم كل حد في $- 2 x = - 5$ على $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

خطوة 2.4.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

خطوة 2.4.5.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 2}$

خطوة 2.4.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.5.3.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$x = \frac{5}{2}$

خطوة 3

أوجِد نطاق $\log (\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المتغير المستقل في $\log (\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}})$ بحيث تصبح أكبر من $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}} > 0$

خطوة 3.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أوجِد جميع القيم التي تتحول فيها العبارة من سالبة إلى موجبة بتعيين قيمة كل عامل لتصبح مساوية لـ $0$ وحلّها.

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

خطوة 3.2.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$x = - 2$

خطوة 3.2.3

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

خطوة 3.2.4

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 3.2.5

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 3.2.6

أوجِد قيمة كل عامل لإيجاد القيم التي تنتقل فيها عبارة القيمة المطلقة من السالب إلى الموجب.

$x = - 2$

$x = 2$

$x = 1$

خطوة 3.2.7

وحّد الحلول.

$x = - 2, 2, 1$

خطوة 3.2.8

أوجِد نطاق $\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.8.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

${(x - 1)}^{2} = 0$

خطوة 3.2.8.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.8.2.1

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 3.2.8.2.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 3.2.8.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

خطوة 3.2.9

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$1 < x < 2$

$x > 2$

خطوة 3.2.10

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.10.1

اختبر قيمة في الفترة $x < - 2$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.10.1.1

اختر قيمة من الفترة $x < - 2$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 4$

خطوة 3.2.10.1.2

استبدِل $x$ بـ $- 4$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{((- 4) + 2) ((- 4) - 2)}{{((- 4) - 1)}^{2}} > 0$

خطوة 3.2.10.1.3

الطرف الأيسر $0.48$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 3.2.10.2

اختبر قيمة في الفترة $- 2 < x < 1$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.10.2.1

اختر قيمة من الفترة $- 2 < x < 1$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 0$

خطوة 3.2.10.2.2

استبدِل $x$ بـ $0$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{((0) + 2) ((0) - 2)}{{((0) - 1)}^{2}} > 0$

خطوة 3.2.10.2.3

الطرف الأيسر $- 4$ ليس أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 3.2.10.3

اختبر قيمة في الفترة $1 < x < 2$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.10.3.1

اختر قيمة من الفترة $1 < x < 2$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 1.5$

خطوة 3.2.10.3.2

استبدِل $x$ بـ $1.5$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{((1.5) + 2) ((1.5) - 2)}{{((1.5) - 1)}^{2}} > 0$

خطوة 3.2.10.3.3

الطرف الأيسر $- 7$ ليس أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 3.2.10.4

اختبر قيمة في الفترة $x > 2$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.10.4.1

اختر قيمة من الفترة $x > 2$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 4$

خطوة 3.2.10.4.2

استبدِل $x$ بـ $4$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{((4) + 2) ((4) - 2)}{{((4) - 1)}^{2}} > 0$

خطوة 3.2.10.4.3

الطرف الأيسر $1.\overline{3}$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 3.2.10.5

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$x < - 2$ صحيحة

$- 2 < x < 1$ خطأ

$1 < x < 2$ خطأ

$x > 2$ صحيحة

$x < - 2$ صحيحة

$- 2 < x < 1$ خطأ

$1 < x < 2$ خطأ

$x > 2$ صحيحة

خطوة 3.2.11

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$x < - 2$ أو $x > 2$

خطوة 3.3

${(x - 1)}^{2} = 0$

خطوة 3.4

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 3.4.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 3.5

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$(- \infty, - 2) \cup (2, \infty)$

خطوة 4

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$x > \frac{5}{2}$

خطوة 5

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

صيغة التباين:

$x > \frac{5}{2}$

ترميز الفترة:

$(\frac{5}{2}, \infty)$

خطوة 6