الرياضيات المتناهية الأمثلة

$y = \sqrt{x + 1}$

خطوة 1

بادِل المتغيرات.

$x = \sqrt{y + 1}$

خطوة 2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\sqrt{y + 1} = x$ .

$\sqrt{y + 1} = x$

خطوة 2.2

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${\sqrt{y + 1}}^{2} = x^{2}$

خطوة 2.3

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{y + 1}$ في صورة ${(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

خطوة 2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

بسّط ${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

اضرب الأُسس في ${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

خطوة 2.3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

${(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

خطوة 2.3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

${(y + 1)}^{1} = x^{2}$

خطوة 2.3.2.1.2

بسّط.

$y + 1 = x^{2}$

خطوة 2.4

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$y = x^{2} - 1$

خطوة 3

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 1$

خطوة 4

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = x^{2} - 1$ هي معكوس $f (x) = \sqrt{x + 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 4.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 4.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (\sqrt{x + 1})$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 1}) = {(\sqrt{x + 1})}^{2} - 1$

خطوة 4.2.3

أعِد كتابة ${\sqrt{x + 1}}^{2}$ بالصيغة $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x + 1}$ في صورة ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 1}) = {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1$

خطوة 4.2.3.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 1}) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1$

خطوة 4.2.3.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 1}) = {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 1$

خطوة 4.2.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\sqrt{x + 1}) = {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 1$

خطوة 4.2.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} (\sqrt{x + 1}) = (x + 1) - 1$

خطوة 4.2.3.5

بسّط.

$f^{- 1} (\sqrt{x + 1}) = x + 1 - 1$

خطوة 4.2.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $x + 1 - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

اطرح $1$ من $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 1}) = x + 0$

خطوة 4.2.4.2

أضف $x$ و $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 1}) = x$

خطوة 4.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 4.3.2

احسِب قيمة $f (x^{2} - 1)$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (x^{2} - 1) = \sqrt{(x^{2} - 1) + 1}$

خطوة 4.3.3

أضف $- 1$ و $1$ .

$f (x^{2} - 1) = \sqrt{x^{2} + 0}$

خطوة 4.3.4

أضف $x^{2}$ و $0$ .

$f (x^{2} - 1) = \sqrt{x^{2}}$

خطوة 4.3.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$f (x^{2} - 1) = x$

خطوة 4.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = x^{2} - 1$ هي معكوس $f (x) = \sqrt{x + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 1$