الرياضيات المتناهية الأمثلة

$e^{2 x}$

خطوة 1

بادِل المتغيرات.

$x = e^{2 y}$

خطوة 2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $e^{2 y} = x$ .

$e^{2 y} = x$

خطوة 2.2

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{2 y}) = \ln (x)$

خطوة 2.3

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

وسّع $\ln (e^{2 y})$ بنقل $2 y$ خارج اللوغاريتم.

$2 y \ln (e) = \ln (x)$

خطوة 2.3.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$2 y \cdot 1 = \ln (x)$

خطوة 2.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 y = \ln (x)$

خطوة 2.4

اقسِم كل حد في $2 y = \ln (x)$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

اقسِم كل حد في $2 y = \ln (x)$ على $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2}$

خطوة 2.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2}$

خطوة 2.4.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{2}$

خطوة 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2}$

خطوة 4

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2}$ هي معكوس $f (x) = e^{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 4.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 4.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (e^{2 x})$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{2 x}) = \frac{\ln (e^{2 x})}{2}$

خطوة 4.2.3

وسّع $\ln (e^{2 x})$ بنقل $2 x$ خارج اللوغاريتم.

$f^{- 1} (e^{2 x}) = \frac{2 x \ln (e)}{2}$

خطوة 4.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (e^{2 x}) = \frac{2 x \ln (e)}{2}$

خطوة 4.2.4.2

اقسِم $x \ln (e)$ على $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x}) = x \ln (e)$

خطوة 4.2.5

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x}) = x \cdot 1$

خطوة 4.2.6

اضرب $x$ في $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x}) = x$

خطوة 4.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 4.3.2

احسِب قيمة $f (\frac{\ln (x)}{2})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x)}{2})}$

خطوة 4.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{\ln (x)}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x)}{2})}$

خطوة 4.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{\ln (x)}{2}) = e^{\ln (x)}$

خطوة 4.3.4

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f (\frac{\ln (x)}{2}) = x$

خطوة 4.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2}$ هي معكوس $f (x) = e^{2 x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2}$