الرياضيات المتناهية الأمثلة

$\sqrt{x^{2} - 10 x + 25} + 12 \sqrt{x} = 15 \sqrt{x}$

خطوة 1

اطرح $15 \sqrt{x}$ من كلا المتعادلين.

$\sqrt{x^{2} - 10 x + 25} + 12 \sqrt{x} - 15 \sqrt{x} = 0$

خطوة 2

بسّط $\sqrt{x^{2} - 10 x + 25} + 12 \sqrt{x} - 15 \sqrt{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $5^{2}$ .

$\sqrt{x^{2} - 10 x + 5^{2}} + 12 \sqrt{x} - 15 \sqrt{x} = 0$

خطوة 2.1.1.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

خطوة 2.1.1.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$\sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}} + 12 \sqrt{x} - 15 \sqrt{x} = 0$

خطوة 2.1.1.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ، حيث $a = x$ و $b = 5$ .

$\sqrt{{(x - 5)}^{2}} + 12 \sqrt{x} - 15 \sqrt{x} = 0$

خطوة 2.1.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x - 5 + 12 \sqrt{x} - 15 \sqrt{x} = 0$

خطوة 2.2

اطرح $15 \sqrt{x}$ من $12 \sqrt{x}$ .

$x - 5 - 3 \sqrt{x} = 0$

خطوة 3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $- 3 \sqrt{x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اطرح $x$ من كلا المتعادلين.

$- 5 - 3 \sqrt{x} = - x$

خطوة 3.2

أضف $5$ إلى كلا المتعادلين.

$- 3 \sqrt{x} = - x + 5$

خطوة 4

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${(- 3 \sqrt{x})}^{2} = {(- x + 5)}^{2}$

خطوة 5

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 3 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 5)}^{2}$

خطوة 5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط ${(- 3 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- 3 x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 3)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 5)}^{2}$

خطوة 5.2.1.2

ارفع $- 3$ إلى القوة $2$ .

$9 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 5)}^{2}$

خطوة 5.2.1.3

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x + 5)}^{2}$

خطوة 5.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x + 5)}^{2}$

خطوة 5.2.1.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$9 x^{1} = {(- x + 5)}^{2}$

خطوة 5.2.1.4

بسّط.

$9 x = {(- x + 5)}^{2}$

خطوة 5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

بسّط ${(- x + 5)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1

أعِد كتابة ${(- x + 5)}^{2}$ بالصيغة $(- x + 5) (- x + 5)$ .

$9 x = (- x + 5) (- x + 5)$

خطوة 5.3.1.2

وسّع $(- x + 5) (- x + 5)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$9 x = - x (- x + 5) + 5 (- x + 5)$

خطوة 5.3.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$9 x = - x (- x) - x \cdot 5 + 5 (- x + 5)$

خطوة 5.3.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$9 x = - x (- x) - x \cdot 5 + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

خطوة 5.3.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.3.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$9 x = - 1 \cdot - 1 x \cdot x - x \cdot 5 + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

خطوة 5.3.1.3.1.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.3.1.2.1

انقُل $x$ .

$9 x = - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - x \cdot 5 + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

خطوة 5.3.1.3.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$9 x = - 1 \cdot - 1 x^{2} - x \cdot 5 + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

خطوة 5.3.1.3.1.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$9 x = 1 x^{2} - x \cdot 5 + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

خطوة 5.3.1.3.1.4

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$9 x = x^{2} - x \cdot 5 + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

خطوة 5.3.1.3.1.5

اضرب $5$ في $- 1$ .

$9 x = x^{2} - 5 x + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

خطوة 5.3.1.3.1.6

اضرب $- 1$ في $5$ .

$9 x = x^{2} - 5 x - 5 x + 5 \cdot 5$

خطوة 5.3.1.3.1.7

اضرب $5$ في $5$ .

$9 x = x^{2} - 5 x - 5 x + 25$

خطوة 5.3.1.3.2

اطرح $5 x$ من $- 5 x$ .

$9 x = x^{2} - 10 x + 25$

خطوة 6

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بما أن $x$ موجودة على المتعادل الأيمن، بدّل الأطراف بحيث تصبح على المتعادل الأيسر.

$x^{2} - 10 x + 25 = 9 x$

خطوة 6.2

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اطرح $9 x$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} - 10 x + 25 - 9 x = 0$

خطوة 6.2.2

اطرح $9 x$ من $- 10 x$ .

$x^{2} - 19 x + 25 = 0$

خطوة 6.3

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 6.4

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = - 19$ و $c = 25$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 25)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1.1

ارفع $- 19$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.5.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.5.1.2.2

اضرب $- 4$ في $25$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 100}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.5.1.3

اطرح $100$ من $361$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{261}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.5.1.4

أعِد كتابة $261$ بالصيغة $3^{2} \cdot 29$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1.4.1

أخرِج العامل $9$ من $261$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{9 (29)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.5.1.4.2

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.5.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{19 \pm 3 \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.5.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{19 \pm 3 \sqrt{29}}{2}$

خطوة 6.6

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1.1

ارفع $- 19$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.6.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.6.1.2.2

اضرب $- 4$ في $25$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 100}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.6.1.3

اطرح $100$ من $361$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{261}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.6.1.4

أعِد كتابة $261$ بالصيغة $3^{2} \cdot 29$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1.4.1

أخرِج العامل $9$ من $261$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{9 (29)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.6.1.4.2

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.6.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{19 \pm 3 \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.6.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{19 \pm 3 \sqrt{29}}{2}$

خطوة 6.6.3

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$x = \frac{19 + 3 \sqrt{29}}{2}$

خطوة 6.7

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.1.1

ارفع $- 19$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.7.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.7.1.2.2

اضرب $- 4$ في $25$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 100}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.7.1.3

اطرح $100$ من $361$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{261}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.7.1.4

أعِد كتابة $261$ بالصيغة $3^{2} \cdot 29$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.1.4.1

أخرِج العامل $9$ من $261$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{9 (29)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.7.1.4.2

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.7.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{19 \pm 3 \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.7.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{19 \pm 3 \sqrt{29}}{2}$

خطوة 6.7.3

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$x = \frac{19 - 3 \sqrt{29}}{2}$

خطوة 6.8

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = \frac{19 + 3 \sqrt{29}}{2}, \frac{19 - 3 \sqrt{29}}{2}$

خطوة 7

استبعِد الحلول التي لا تجعل $x - 5 - 3 \sqrt{x} = 0$ صحيحة.

$x = \frac{19 + 3 \sqrt{29}}{2}$

خطوة 8

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$x = \frac{19 + 3 \sqrt{29}}{2}$

الصيغة العشرية:

$x = 17.57774721 \dots$