الرياضيات المتناهية الأمثلة

$f (x) = 4 x^{3} - 25 x^{2} - 154 x + 40$

خطوة 1

عيّن قيمة $4 x^{3} - 25 x^{2} - 154 x + 40$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$4 x^{3} - 25 x^{2} - 154 x + 40 = 0$

خطوة 2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

حلّل $4 x^{3} - 25 x^{2} - 154 x + 40$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 40, \pm 2, \pm 20, \pm 4, \pm 10, \pm 5, \pm 8$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

خطوة 2.1.1.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 40, \pm 10, \pm 20, \pm 2, \pm 5, \pm 4, \pm 2.5, \pm 1.25, \pm 8$

خطوة 2.1.1.3

عوّض بـ $0.25$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $0.25$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.3.1

عوّض بـ $0.25$ في متعدد الحدود.

$4 \cdot {0.25}^{3} - 25 \cdot {0.25}^{2} - 154 \cdot 0.25 + 40$

خطوة 2.1.1.3.2

ارفع $0.25$ إلى القوة $3$ .

$4 \cdot 0.015625 - 25 \cdot {0.25}^{2} - 154 \cdot 0.25 + 40$

خطوة 2.1.1.3.3

اضرب $4$ في $0.015625$ .

$0.0625 - 25 \cdot {0.25}^{2} - 154 \cdot 0.25 + 40$

خطوة 2.1.1.3.4

ارفع $0.25$ إلى القوة $2$ .

$0.0625 - 25 \cdot 0.0625 - 154 \cdot 0.25 + 40$

خطوة 2.1.1.3.5

اضرب $- 25$ في $0.0625$ .

$0.0625 - 1.5625 - 154 \cdot 0.25 + 40$

خطوة 2.1.1.3.6

اطرح $1.5625$ من $0.0625$ .

$- 1.5 - 154 \cdot 0.25 + 40$

خطوة 2.1.1.3.7

اضرب $- 154$ في $0.25$ .

$- 1.5 - 38.5 + 40$

خطوة 2.1.1.3.8

اطرح $38.5$ من $- 1.5$ .

$- 40 + 40$

خطوة 2.1.1.3.9

أضف $- 40$ و $40$ .

$0$

خطوة 2.1.1.4

بما أن $0.25$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $4 x - 1$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{4 x^{3} - 25 x^{2} - 154 x + 40}{4 x - 1}$

خطوة 2.1.1.5

اقسِم $4 x^{3} - 25 x^{2} - 154 x + 40$ على $4 x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$4 x$

$1$

$4 x^{3}$

$25 x^{2}$

$154 x$

$40$

خطوة 2.1.1.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $4 x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $4 x$ .

					$x^{2}$
	$4 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$25 x^{2}$	-	$154 x$	+	$40$

خطوة 2.1.1.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$
$4 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$25 x^{2}$	-	$154 x$	+	$40$
			+	$4 x^{3}$	-	$x^{2}$

خطوة 2.1.1.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $4 x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$4 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$25 x^{2}$	-	$154 x$	+	$40$
			-	$4 x^{3}$	+	$x^{2}$

خطوة 2.1.1.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$
$4 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$25 x^{2}$	-	$154 x$	+	$40$
			-	$4 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$24 x^{2}$

خطوة 2.1.1.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$
$4 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$25 x^{2}$	-	$154 x$	+	$40$
			-	$4 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	-	$154 x$

خطوة 2.1.1.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 24 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $4 x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$4 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$25 x^{2}$	-	$154 x$	+	$40$
			-	$4 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	-	$154 x$

خطوة 2.1.1.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$4 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$25 x^{2}$	-	$154 x$	+	$40$
			-	$4 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	-	$154 x$
					-	$24 x^{2}$	+	$6 x$

خطوة 2.1.1.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 24 x^{2} + 6 x$

				$x^{2}$	-	$6 x$
$4 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$25 x^{2}$	-	$154 x$	+	$40$
			-	$4 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	-	$154 x$
					+	$24 x^{2}$	-	$6 x$

خطوة 2.1.1.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$4 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$25 x^{2}$	-	$154 x$	+	$40$
			-	$4 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	-	$154 x$
					+	$24 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$160 x$

خطوة 2.1.1.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$4 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$25 x^{2}$	-	$154 x$	+	$40$
			-	$4 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	-	$154 x$
					+	$24 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$160 x$	+	$40$

خطوة 2.1.1.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 160 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $4 x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$40$
$4 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$25 x^{2}$	-	$154 x$	+	$40$
			-	$4 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	-	$154 x$
					+	$24 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$160 x$	+	$40$

خطوة 2.1.1.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$40$
$4 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$25 x^{2}$	-	$154 x$	+	$40$
			-	$4 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	-	$154 x$
					+	$24 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$160 x$	+	$40$
							-	$160 x$	+	$40$

خطوة 2.1.1.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 160 x + 40$

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$40$
$4 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$25 x^{2}$	-	$154 x$	+	$40$
			-	$4 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	-	$154 x$
					+	$24 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$160 x$	+	$40$
							+	$160 x$	-	$40$

خطوة 2.1.1.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$40$
$4 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$25 x^{2}$	-	$154 x$	+	$40$
			-	$4 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	-	$154 x$
					+	$24 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$160 x$	+	$40$
							+	$160 x$	-	$40$
										$0$

خطوة 2.1.1.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$x^{2} - 6 x - 40$

خطوة 2.1.1.6

اكتب $4 x^{3} - 25 x^{2} - 154 x + 40$ في صورة مجموعة من العوامل.

$(4 x - 1) (x^{2} - 6 x - 40) = 0$

خطوة 2.1.2

حلّل $x^{2} - 6 x - 40$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

حلّل $x^{2} - 6 x - 40$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 40$ ومجموعهما $- 6$ .

$- 10, 4$

خطوة 2.1.2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(4 x - 1) ((x - 10) (x + 4)) = 0$

خطوة 2.1.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$(4 x - 1) (x - 10) (x + 4) = 0$

خطوة 2.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$4 x - 1 = 0$

$x - 10 = 0$

$x + 4 = 0$

خطوة 2.3

عيّن قيمة العبارة $4 x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

عيّن قيمة $4 x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$4 x - 1 = 0$

خطوة 2.3.2

أوجِد قيمة $x$ في $4 x - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$4 x = 1$

خطوة 2.3.2.2

اقسِم كل حد في $4 x = 1$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1

اقسِم كل حد في $4 x = 1$ على $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

خطوة 2.3.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

خطوة 2.3.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

خطوة 2.4

عيّن قيمة العبارة $x - 10$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

عيّن قيمة $x - 10$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 10 = 0$

خطوة 2.4.2

أضف $10$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 10$

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة $x + 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة $x + 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 4 = 0$

خطوة 2.5.2

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$x = - 4$

خطوة 2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(4 x - 1) (x - 10) (x + 4) = 0$ صحيحة.

$x = \frac{1}{4}, 10, - 4$

خطوة 3