الرياضيات المتناهية الأمثلة

$8 x^{3} - 34 x^{2} + 5 x + 12 = 0$

خطوة 1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

حلّل $8 x^{3} - 34 x^{2} + 5 x + 12$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

خطوة 1.1.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 0.125, \pm 0.5, \pm 0.25, \pm 12, \pm 1.5, \pm 6, \pm 3, \pm 2, \pm 0.75, \pm 0.375, \pm 4$

خطوة 1.1.3

عوّض بـ $- 0.5$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $- 0.5$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

عوّض بـ $- 0.5$ في متعدد الحدود.

$8 {(- 0.5)}^{3} - 34 {(- 0.5)}^{2} + 5 \cdot - 0.5 + 12$

خطوة 1.1.3.2

ارفع $- 0.5$ إلى القوة $3$ .

$8 \cdot - 0.125 - 34 {(- 0.5)}^{2} + 5 \cdot - 0.5 + 12$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $8$ في $- 0.125$ .

$- 1 - 34 {(- 0.5)}^{2} + 5 \cdot - 0.5 + 12$

خطوة 1.1.3.4

ارفع $- 0.5$ إلى القوة $2$ .

$- 1 - 34 \cdot 0.25 + 5 \cdot - 0.5 + 12$

خطوة 1.1.3.5

اضرب $- 34$ في $0.25$ .

$- 1 - 8.5 + 5 \cdot - 0.5 + 12$

خطوة 1.1.3.6

اطرح $8.5$ من $- 1$ .

$- 9.5 + 5 \cdot - 0.5 + 12$

خطوة 1.1.3.7

اضرب $5$ في $- 0.5$ .

$- 9.5 - 2.5 + 12$

خطوة 1.1.3.8

اطرح $2.5$ من $- 9.5$ .

$- 12 + 12$

خطوة 1.1.3.9

أضف $- 12$ و $12$ .

$0$

خطوة 1.1.4

بما أن $- 0.5$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $2 x + 1$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{8 x^{3} - 34 x^{2} + 5 x + 12}{2 x + 1}$

خطوة 1.1.5

اقسِم $8 x^{3} - 34 x^{2} + 5 x + 12$ على $2 x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$2 x$

$1$

$8 x^{3}$

$34 x^{2}$

$5 x$

$12$

خطوة 1.1.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $8 x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $2 x$ .

					$4 x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$34 x^{2}$	+	$5 x$	+	$12$

خطوة 1.1.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$4 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$34 x^{2}$	+	$5 x$	+	$12$
			+	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

خطوة 1.1.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $8 x^{3} + 4 x^{2}$

				$4 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$34 x^{2}$	+	$5 x$	+	$12$
			-	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

خطوة 1.1.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$4 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$34 x^{2}$	+	$5 x$	+	$12$
			-	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$38 x^{2}$

خطوة 1.1.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$4 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$34 x^{2}$	+	$5 x$	+	$12$
			-	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$38 x^{2}$	+	$5 x$

خطوة 1.1.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 38 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $2 x$ .

				$4 x^{2}$	-	$19 x$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$34 x^{2}$	+	$5 x$	+	$12$
			-	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$38 x^{2}$	+	$5 x$

خطوة 1.1.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$4 x^{2}$	-	$19 x$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$34 x^{2}$	+	$5 x$	+	$12$
			-	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$38 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$38 x^{2}$	-	$19 x$

خطوة 1.1.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 38 x^{2} - 19 x$

				$4 x^{2}$	-	$19 x$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$34 x^{2}$	+	$5 x$	+	$12$
			-	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$38 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$38 x^{2}$	+	$19 x$

خطوة 1.1.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$4 x^{2}$	-	$19 x$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$34 x^{2}$	+	$5 x$	+	$12$
			-	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$38 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$38 x^{2}$	+	$19 x$
							+	$24 x$

خطوة 1.1.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$4 x^{2}$	-	$19 x$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$34 x^{2}$	+	$5 x$	+	$12$
			-	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$38 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$38 x^{2}$	+	$19 x$
							+	$24 x$	+	$12$

خطوة 1.1.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $24 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $2 x$ .

				$4 x^{2}$	-	$19 x$	+	$12$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$34 x^{2}$	+	$5 x$	+	$12$
			-	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$38 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$38 x^{2}$	+	$19 x$
							+	$24 x$	+	$12$

خطوة 1.1.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$4 x^{2}$	-	$19 x$	+	$12$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$34 x^{2}$	+	$5 x$	+	$12$
			-	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$38 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$38 x^{2}$	+	$19 x$
							+	$24 x$	+	$12$
							+	$24 x$	+	$12$

خطوة 1.1.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $24 x + 12$

				$4 x^{2}$	-	$19 x$	+	$12$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$34 x^{2}$	+	$5 x$	+	$12$
			-	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$38 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$38 x^{2}$	+	$19 x$
							+	$24 x$	+	$12$
							-	$24 x$	-	$12$

خطوة 1.1.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$4 x^{2}$	-	$19 x$	+	$12$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$34 x^{2}$	+	$5 x$	+	$12$
			-	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$38 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$38 x^{2}$	+	$19 x$
							+	$24 x$	+	$12$
							-	$24 x$	-	$12$
										$0$

خطوة 1.1.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$4 x^{2} - 19 x + 12$

خطوة 1.1.6

اكتب $8 x^{3} - 34 x^{2} + 5 x + 12$ في صورة مجموعة من العوامل.

$(2 x + 1) (4 x^{2} - 19 x + 12) = 0$

خطوة 1.2

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 4 \cdot 12 = 48$ ومجموعهما $b = - 19$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1.1

أخرِج العامل $- 19$ من $- 19 x$ .

$(2 x + 1) (4 x^{2} - 19 x + 12) = 0$

خطوة 1.2.1.1.2

أعِد كتابة $- 19$ في صورة $- 3$ زائد $- 16$

$(2 x + 1) (4 x^{2} + (- 3 - 16) x + 12) = 0$

خطوة 1.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$(2 x + 1) (4 x^{2} - 3 x - 16 x + 12) = 0$

خطوة 1.2.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$(2 x + 1) ((4 x^{2} - 3 x) - 16 x + 12) = 0$

خطوة 1.2.1.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$(2 x + 1) (x (4 x - 3) - 4 (4 x - 3)) = 0$

خطوة 1.2.1.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $4 x - 3$ .

$(2 x + 1) ((4 x - 3) (x - 4)) = 0$

خطوة 1.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$(2 x + 1) (4 x - 3) (x - 4) = 0$

خطوة 2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$4 x - 3 = 0$

$x - 4 = 0$

خطوة 3

عيّن قيمة العبارة $2 x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة $2 x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 x + 1 = 0$

خطوة 3.2

أوجِد قيمة $x$ في $2 x + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$2 x = - 1$

خطوة 3.2.2

اقسِم كل حد في $2 x = - 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 x = - 1$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 3.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 3.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

خطوة 3.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{1}{2}$

خطوة 4

عيّن قيمة العبارة $4 x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة $4 x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$4 x - 3 = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $x$ في $4 x - 3 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$4 x = 3$

خطوة 4.2.2

اقسِم كل حد في $4 x = 3$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

اقسِم كل حد في $4 x = 3$ على $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

خطوة 4.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

خطوة 4.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{3}{4}$

خطوة 5

عيّن قيمة العبارة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 4 = 0$

خطوة 5.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 4$

خطوة 6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(2 x + 1) (4 x - 3) (x - 4) = 0$ صحيحة.

$x = - \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, 4$

خطوة 7