الرياضيات المتناهية الأمثلة

$x^{2} - y^{2} = 1$

خطوة 1

اطرح $x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$- y^{2} = 1 - x^{2}$

خطوة 2

اقسِم كل حد في $- y^{2} = 1 - x^{2}$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اقسِم كل حد في $- y^{2} = 1 - x^{2}$ على $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

خطوة 2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

خطوة 2.2.2

اقسِم $y^{2}$ على $1$ .

$y^{2} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

خطوة 2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

اقسِم $1$ على $- 1$ .

$y^{2} = - 1 + \frac{- x^{2}}{- 1}$

خطوة 2.3.1.2

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$y^{2} = - 1 + \frac{x^{2}}{1}$

خطوة 2.3.1.3

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$y^{2} = - 1 + x^{2}$

خطوة 3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{- 1 + x^{2}}$

خطوة 4

بسّط $\pm \sqrt{- 1 + x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 1^{2} + x^{2}}$

خطوة 4.1.2

أعِد ترتيب $- 1^{2}$ و $x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{x^{2} - 1^{2}}$

خطوة 4.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$y = \pm \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

خطوة 5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

خطوة 5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

خطوة 5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

خطوة 6

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$(x + 1) (x - 1) \geq 0$

خطوة 7

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

خطوة 7.2

عيّن قيمة العبارة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

عيّن قيمة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 1 = 0$

خطوة 7.2.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x = - 1$

خطوة 7.3

عيّن قيمة العبارة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 7.3.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 7.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x + 1) (x - 1) \geq 0$ صحيحة.

$x = - 1, 1$

خطوة 7.5

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

خطوة 7.6

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.1

اختبر قيمة في الفترة $x < - 1$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.1.1

اختر قيمة من الفترة $x < - 1$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 4$

خطوة 7.6.1.2

استبدِل $x$ بـ $- 4$ في المتباينة الأصلية.

$((- 4) + 1) ((- 4) - 1) \geq 0$

خطوة 7.6.1.3

الطرف الأيسر $15$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

صائب

خطوة 7.6.2

اختبر قيمة في الفترة $- 1 < x < 1$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.2.1

اختر قيمة من الفترة $- 1 < x < 1$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 0$

خطوة 7.6.2.2

استبدِل $x$ بـ $0$ في المتباينة الأصلية.

$((0) + 1) ((0) - 1) \geq 0$

خطوة 7.6.2.3

الطرف الأيسر $- 1$ أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

خطأ

خطوة 7.6.3

اختبر قيمة في الفترة $x > 1$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.3.1

اختر قيمة من الفترة $x > 1$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 4$

خطوة 7.6.3.2

استبدِل $x$ بـ $4$ في المتباينة الأصلية.

$((4) + 1) ((4) - 1) \geq 0$

خطوة 7.6.3.3

الطرف الأيسر $15$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

صائب

خطوة 7.6.4

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$x < - 1$ صحيحة

$- 1 < x < 1$ خطأ

$x > 1$ صحيحة

$x < - 1$ صحيحة

$- 1 < x < 1$ خطأ

$x > 1$ صحيحة

خطوة 7.7

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$x \leq - 1$ أو $x \geq 1$

خطوة 8

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \leq - 1, x \geq 1}$

خطوة 9