الرياضيات المتناهية الأمثلة

$\frac{4 \sin (A) \cdot \cos (A) \cdot \cos (2 A) \cdot \sin (15)}{\sin (2 A) (\tan (225) - 2 \sin^{2} (A))}$

خطوة 1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{4 \sin (A) \cdot \cos (A) \cdot \cos (2 A) \cdot \sin (15)}{\sin (2 A) (\tan (225) - 2 \sin^{2} (A))}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$\sin (2 A) (\tan (225) - 2 \sin^{2} (A)) = 0$

خطوة 2

أوجِد قيمة $A$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$\sin (2 A) = 0$

$\tan (225) - 2 \sin^{2} (A) = 0$

خطوة 2.2

عيّن قيمة العبارة $\sin (2 A)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $A$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

عيّن قيمة $\sin (2 A)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\sin (2 A) = 0$

خطوة 2.2.2

أوجِد قيمة $A$ في $\sin (2 A) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $A$ من داخل الجيب.

$2 A = \arcsin (0)$

خطوة 2.2.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (0)$ هي $0$ .

$2 A = 0$

خطوة 2.2.2.3

اقسِم كل حد في $2 A = 0$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.3.1

اقسِم كل حد في $2 A = 0$ على $2$ .

$\frac{2 A}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 2.2.2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 A}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 2.2.2.3.2.1.2

اقسِم $A$ على $1$ .

$A = \frac{0}{2}$

خطوة 2.2.2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.3.3.1

اقسِم $0$ على $2$ .

$A = 0$

خطوة 2.2.2.4

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $180$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$2 A = 180 - 0$

خطوة 2.2.2.5

أوجِد قيمة $A$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.5.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.5.1.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$2 A = 180 + 0$

خطوة 2.2.2.5.1.2

أضف $180$ و $0$ .

$2 A = 180$

خطوة 2.2.2.5.2

اقسِم كل حد في $2 A = 180$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.5.2.1

اقسِم كل حد في $2 A = 180$ على $2$ .

$\frac{2 A}{2} = \frac{180}{2}$

خطوة 2.2.2.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 A}{2} = \frac{180}{2}$

خطوة 2.2.2.5.2.2.1.2

اقسِم $A$ على $1$ .

$A = \frac{180}{2}$

خطوة 2.2.2.5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.5.2.3.1

اقسِم $180$ على $2$ .

$A = 90$

خطوة 2.2.2.6

أوجِد فترة $\sin (2 A)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.6.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

خطوة 2.2.2.6.2

استبدِل $b$ بـ $2$ في القاعدة للفترة.

$\frac{360}{| 2 |}$

خطوة 2.2.2.6.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $2$ تساوي $2$ .

$\frac{360}{2}$

خطوة 2.2.2.6.4

اقسِم $360$ على $2$ .

$180$

خطوة 2.2.2.7

فترة دالة $\sin (2 A)$ هي $180$ ، لذا تتكرر القيم كل $180$ من الدرجات في كلا الاتجاهين.

$A = 180 n, 90 + 180 n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2.3

عيّن قيمة العبارة $\tan (225) - 2 \sin^{2} (A)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $A$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

عيّن قيمة $\tan (225) - 2 \sin^{2} (A)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\tan (225) - 2 \sin^{2} (A) = 0$

خطوة 2.3.2

أوجِد قيمة $A$ في $\tan (225) - 2 \sin^{2} (A) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$\tan (45) - 2 \sin^{2} (A) = 0$

خطوة 2.3.2.1.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\tan (45)$ هي $1$ .

$1 - 2 \sin^{2} (A) = 0$

خطوة 2.3.2.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- 2 \sin^{2} (A) = - 1$

خطوة 2.3.2.3

اقسِم كل حد في $- 2 \sin^{2} (A) = - 1$ على $- 2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.3.1

اقسِم كل حد في $- 2 \sin^{2} (A) = - 1$ على $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin^{2} (A)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

خطوة 2.3.2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2 \sin^{2} (A)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

خطوة 2.3.2.3.2.1.2

اقسِم $\sin^{2} (A)$ على $1$ .

$\sin^{2} (A) = \frac{- 1}{- 2}$

خطوة 2.3.2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.3.3.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\sin^{2} (A) = \frac{1}{2}$

خطوة 2.3.2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (A) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

خطوة 2.3.2.5

بسّط $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.5.1

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{1}{2}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

خطوة 2.3.2.5.2

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$\sin (A) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

خطوة 2.3.2.5.3

اضرب $\frac{1}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (A) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

خطوة 2.3.2.5.4

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.5.4.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

خطوة 2.3.2.5.4.2

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

خطوة 2.3.2.5.4.3

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

خطوة 2.3.2.5.4.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

خطوة 2.3.2.5.4.5

أضف $1$ و $1$ .

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

خطوة 2.3.2.5.4.6

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.5.4.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 2.3.2.5.4.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 2.3.2.5.4.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 2.3.2.5.4.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.5.4.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 2.3.2.5.4.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

خطوة 2.3.2.5.4.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 2.3.2.6

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.6.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$\sin (A) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 2.3.2.6.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$\sin (A) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 2.3.2.6.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$\sin (A) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 2.3.2.7

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $A$ .

$\sin (A) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (A) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 2.3.2.8

أوجِد قيمة $A$ في $\sin (A) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.8.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $A$ من داخل الجيب.

$A = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

خطوة 2.3.2.8.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.8.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ هي $45$ .

$A = 45$

خطوة 2.3.2.8.3

$A = 180 - 45$

خطوة 2.3.2.8.4

اطرح $45$ من $180$ .

$A = 135$

خطوة 2.3.2.8.5

أوجِد فترة $\sin (A)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.8.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

خطوة 2.3.2.8.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{360}{| 1 |}$

خطوة 2.3.2.8.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{360}{1}$

خطوة 2.3.2.8.5.4

اقسِم $360$ على $1$ .

$360$

خطوة 2.3.2.8.6

فترة دالة $\sin (A)$ هي $360$ ، لذا تتكرر القيم كل $360$ من الدرجات في كلا الاتجاهين.

$A = 45 + 360 n, 135 + 360 n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2.3.2.9

أوجِد قيمة $A$ في $\sin (A) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.9.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $A$ من داخل الجيب.

$A = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

خطوة 2.3.2.9.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.9.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ هي $- 45$ .

$A = - 45$

خطوة 2.3.2.9.3

دالة الجيب سالبة في الربعين الثالث والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح الحل من $360$ ، لإيجاد زاوية المرجع. وبعد ذلك، اجمع زاوية المرجع المذكورة مع $180$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$A = 360 + 45 + 180$

خطوة 2.3.2.9.4

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.9.4.1

اطرح $360 °$ من $360 + 45 + 180 °$ .

$A = 360 + 45 + 180 ° - 360 °$

خطوة 2.3.2.9.4.2

الزاوية الناتجة لـ $225 °$ موجبة وأصغر من $360 °$ ومشتركة النهاية مع $360 + 45 + 180$ .

$A = 225 °$

خطوة 2.3.2.9.5

أوجِد فترة $\sin (A)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.9.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

خطوة 2.3.2.9.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{360}{| 1 |}$

خطوة 2.3.2.9.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{360}{1}$

خطوة 2.3.2.9.5.4

اقسِم $360$ على $1$ .

$360$

خطوة 2.3.2.9.6

اجمع $360$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.9.6.1

اجمع $360$ مع $- 45$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- 45 + 360$

خطوة 2.3.2.9.6.2

اطرح $45$ من $360$ .

$315$

خطوة 2.3.2.9.6.3

اسرِد الزوايا الجديدة.

$A = 315$

خطوة 2.3.2.9.7

فترة دالة $\sin (A)$ هي $360$ ، لذا تتكرر القيم كل $360$ من الدرجات في كلا الاتجاهين.

$A = 225 + 360 n, 315 + 360 n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2.3.2.10

اسرِد جميع الحلول.

$A = 45 + 360 n, 135 + 360 n, 225 + 360 n, 315 + 360 n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2.3.2.11

وحّد الإجابات.

$A = 45 + 90 n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $\sin (2 A) (\tan (225) - 2 \sin^{2} (A)) = 0$ صحيحة.

$A = 180 n, 90 + 180 n, 45 + 90 n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2.5

وحّد الإجابات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

ادمج $180 n$ و $90 + 180 n$ في $90 n$ .

$A = 90 n, 45 + 90 n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2.5.2

وحّد الإجابات.

$A = 45 n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3

النطاق هو جميع قيم $A$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز بناء المجموعات:

${A | A \neq 45 n}$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4