الرياضيات المتناهية الأمثلة

${(x - 3)}^{2} + {(y - 6)}^{2} = 9$

خطوة 1

اطرح ${(x - 3)}^{2}$ من كلا المتعادلين.

${(y - 6)}^{2} = 9 - {(x - 3)}^{2}$

خطوة 2

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y - 6 = \pm \sqrt{9 - {(x - 3)}^{2}}$

خطوة 3

بسّط $\pm \sqrt{9 - {(x - 3)}^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$y - 6 = \pm \sqrt{3^{2} - {(x - 3)}^{2}}$

خطوة 3.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 3$ و $b = x - 3$ .

$y - 6 = \pm \sqrt{(3 + x - 3) (3 - (x - 3))}$

خطوة 3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اطرح $3$ من $3$ .

$y - 6 = \pm \sqrt{(x + 0) (3 - (x - 3))}$

خطوة 3.3.2

أضف $x$ و $0$ .

$y - 6 = \pm \sqrt{x (3 - (x - 3))}$

خطوة 3.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 6 = \pm \sqrt{x (3 - x - - 3)}$

خطوة 3.3.4

اضرب $- 1$ في $- 3$ .

$y - 6 = \pm \sqrt{x (3 - x + 3)}$

خطوة 3.3.5

أضف $3$ و $3$ .

$y - 6 = \pm \sqrt{x (- x + 6)}$

خطوة 4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y - 6 = \sqrt{x (- x + 6)}$

خطوة 4.2

أضف $6$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \sqrt{x (- x + 6)} + 6$

خطوة 4.3

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y - 6 = - \sqrt{x (- x + 6)}$

خطوة 4.4

أضف $6$ إلى كلا المتعادلين.

$y = - \sqrt{x (- x + 6)} + 6$

خطوة 4.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \sqrt{x (- x + 6)} + 6$

$y = - \sqrt{x (- x + 6)} + 6$

$y = \sqrt{x (- x + 6)} + 6$

$y = - \sqrt{x (- x + 6)} + 6$

خطوة 5

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{x (- x + 6)}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$x (- x + 6) \geq 0$

خطوة 6

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$- x + 6 = 0$

خطوة 6.2

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 6.3

عيّن قيمة العبارة $- x + 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

عيّن قيمة $- x + 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- x + 6 = 0$

خطوة 6.3.2

أوجِد قيمة $x$ في $- x + 6 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

اطرح $6$ من كلا المتعادلين.

$- x = - 6$

خطوة 6.3.2.2

اقسِم كل حد في $- x = - 6$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.2.1

اقسِم كل حد في $- x = - 6$ على $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 6}{- 1}$

خطوة 6.3.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x}{1} = \frac{- 6}{- 1}$

خطوة 6.3.2.2.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 6}{- 1}$

خطوة 6.3.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.2.3.1

اقسِم $- 6$ على $- 1$ .

$x = 6$

خطوة 6.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $x (- x + 6) \geq 0$ صحيحة.

$x = 0, 6$

خطوة 6.5

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$x < 0$

$0 < x < 6$

$x > 6$

خطوة 6.6

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

اختبر قيمة في الفترة $x < 0$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1.1

اختر قيمة من الفترة $x < 0$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 2$

خطوة 6.6.1.2

استبدِل $x$ بـ $- 2$ في المتباينة الأصلية.

$(- 2) (- (- 2) + 6) \geq 0$

خطوة 6.6.1.3

الطرف الأيسر $- 16$ أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

خطأ

خطوة 6.6.2

اختبر قيمة في الفترة $0 < x < 6$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.2.1

اختر قيمة من الفترة $0 < x < 6$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 3$

خطوة 6.6.2.2

استبدِل $x$ بـ $3$ في المتباينة الأصلية.

$(3) (- (3) + 6) \geq 0$

خطوة 6.6.2.3

الطرف الأيسر $9$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

صائب

خطوة 6.6.3

اختبر قيمة في الفترة $x > 6$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.3.1

اختر قيمة من الفترة $x > 6$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 8$

خطوة 6.6.3.2

استبدِل $x$ بـ $8$ في المتباينة الأصلية.

$(8) (- (8) + 6) \geq 0$

خطوة 6.6.3.3

الطرف الأيسر $- 16$ أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

خطأ

خطوة 6.6.4

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$x < 0$ خطأ

$0 < x < 6$ صحيحة

$x > 6$ خطأ

$x < 0$ خطأ

$0 < x < 6$ صحيحة

$x > 6$ خطأ

خطوة 6.7

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$0 \leq x \leq 6$

خطوة 7

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

$[0, 6]$

ترميز بناء المجموعات:

${x | 0 \leq x \leq 6}$

خطوة 8