الرياضيات المتناهية الأمثلة

$\ln (\frac{x^{2} - 1}{x} - 1) - x$

خطوة 1

عيّن قيمة المتغير المستقل في $\ln (\frac{x^{2} - 1}{x} - 1)$ بحيث تصبح أكبر من $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$\frac{x^{2} - 1}{x} - 1 > 0$

خطوة 2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط $\frac{x^{2} - 1}{x} - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x} - 1 > 0$

خطوة 2.1.1.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x} - 1 > 0$

خطوة 2.1.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x} - 1 \cdot \frac{x}{x} > 0$

خطوة 2.1.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

اجمع $- 1$ و $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x} + \frac{- x}{x} > 0$

خطوة 2.1.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{(x + 1) (x - 1) - x}{x} > 0$

خطوة 2.1.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

وسّع $(x + 1) (x - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x (x - 1) + 1 (x - 1) - x}{x} > 0$

خطوة 2.1.4.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) - x}{x} > 0$

خطوة 2.1.4.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - x}{x} > 0$

خطوة 2.1.4.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.2.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - x}{x} > 0$

خطوة 2.1.4.2.1.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $x$ .

$\frac{x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 - x}{x} > 0$

خطوة 2.1.4.2.1.3

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 - x}{x} > 0$

خطوة 2.1.4.2.1.4

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 - x}{x} > 0$

خطوة 2.1.4.2.1.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{x^{2} - x + x - 1 - x}{x} > 0$

خطوة 2.1.4.2.2

أضف $- x$ و $x$ .

$\frac{x^{2} + 0 - 1 - x}{x} > 0$

خطوة 2.1.4.2.3

أضف $x^{2}$ و $0$ .

$\frac{x^{2} - 1 - x}{x} > 0$

خطوة 2.1.4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{x^{2} - x - 1}{x} > 0$

خطوة 2.2

أوجِد جميع القيم التي تتحول فيها العبارة من سالبة إلى موجبة بتعيين قيمة كل عامل لتصبح مساوية لـ $0$ وحلّها.

$x = 0$

$x^{2} - x - 1 = 0$

خطوة 2.3

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 2.4

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = - 1$ و $c = - 1$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.5.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.5.1.2.2

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.5.1.3

أضف $1$ و $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.5.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

خطوة 2.6

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.6.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.6.1.2.2

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.6.1.3

أضف $1$ و $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.6.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

خطوة 2.6.3

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

خطوة 2.7

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.7.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.7.1.2.2

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.7.1.3

أضف $1$ و $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.7.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

خطوة 2.7.3

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

خطوة 2.8

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

خطوة 2.9

أوجِد قيمة كل عامل لإيجاد القيم التي تنتقل فيها عبارة القيمة المطلقة من السالب إلى الموجب.

$x = 0$

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

خطوة 2.10

وحّد الحلول.

$x = 0, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

خطوة 2.11

أوجِد نطاق $\frac{x^{2} - 1}{x} - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{x^{2} - 1}{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x = 0$

خطوة 2.11.2

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

خطوة 2.12

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$

$0 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

خطوة 2.13

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.13.1

اختبر قيمة في الفترة $x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.13.1.1

اختر قيمة من الفترة $x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 3$

خطوة 2.13.1.2

استبدِل $x$ بـ $- 3$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{{(- 3)}^{2} - 1}{- 3} - 1 > 0$

خطوة 2.13.1.3

الطرف الأيسر $- 3.\overline{6}$ ليس أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 2.13.2

اختبر قيمة في الفترة $\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.13.2.1

اختر قيمة من الفترة $\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 0.31$

خطوة 2.13.2.2

استبدِل $x$ بـ $- 0.31$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{{(- 0.31)}^{2} - 1}{- 0.31} - 1 > 0$

خطوة 2.13.2.3

الطرف الأيسر $1.91580645$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 2.13.3

اختبر قيمة في الفترة $0 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.13.3.1

اختر قيمة من الفترة $0 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 1$

خطوة 2.13.3.2

استبدِل $x$ بـ $1$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{{(1)}^{2} - 1}{1} - 1 > 0$

خطوة 2.13.3.3

الطرف الأيسر $- 1$ ليس أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 2.13.4

اختبر قيمة في الفترة $x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.13.4.1

اختر قيمة من الفترة $x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 4$

خطوة 2.13.4.2

استبدِل $x$ بـ $4$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{{(4)}^{2} - 1}{4} - 1 > 0$

خطوة 2.13.4.3

الطرف الأيسر $2.75$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 2.13.5

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ خطأ

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$ صحيحة

$0 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ خطأ

$x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ صحيحة

$x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ خطأ

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$ صحيحة

$0 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ خطأ

$x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ صحيحة

خطوة 2.14

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$ أو $x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

خطوة 3

عيّن قيمة القاسم في $\frac{x^{2} - 1}{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x = 0$

خطوة 4

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

$(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, 0) \cup (\frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | \frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0, x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}}$

خطوة 5