الرياضيات المتناهية الأمثلة

$2 p - 2 \sqrt{4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48}$

خطوة 1

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48 \geq 0$

خطوة 2

أوجِد قيمة $p$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

حوّل المتباينة إلى معادلة.

$4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48 = 0$

خطوة 2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أخرِج العامل $4$ من $4 p^{3}$ .

$4 (p^{3}) + 16 p^{2} + 28 p - 48 = 0$

خطوة 2.2.1.2

أخرِج العامل $4$ من $16 p^{2}$ .

$4 (p^{3}) + 4 (4 p^{2}) + 28 p - 48 = 0$

خطوة 2.2.1.3

أخرِج العامل $4$ من $28 p$ .

$4 (p^{3}) + 4 (4 p^{2}) + 4 (7 p) - 48 = 0$

خطوة 2.2.1.4

أخرِج العامل $4$ من $- 48$ .

$4 p^{3} + 4 (4 p^{2}) + 4 (7 p) + 4 \cdot - 12 = 0$

خطوة 2.2.1.5

أخرِج العامل $4$ من $4 p^{3} + 4 (4 p^{2})$ .

$4 (p^{3} + 4 p^{2}) + 4 (7 p) + 4 \cdot - 12 = 0$

خطوة 2.2.1.6

أخرِج العامل $4$ من $4 (p^{3} + 4 p^{2}) + 4 (7 p)$ .

$4 (p^{3} + 4 p^{2} + 7 p) + 4 \cdot - 12 = 0$

خطوة 2.2.1.7

أخرِج العامل $4$ من $4 (p^{3} + 4 p^{2} + 7 p) + 4 \cdot - 12$ .

$4 (p^{3} + 4 p^{2} + 7 p - 12) = 0$

خطوة 2.2.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

حلّل $p^{3} + 4 p^{2} + 7 p - 12$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

خطوة 2.2.2.1.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

خطوة 2.2.2.1.3

عوّض بـ $1$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $1$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.3.1

عوّض بـ $1$ في متعدد الحدود.

$1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + 7 \cdot 1 - 12$

خطوة 2.2.2.1.3.2

ارفع $1$ إلى القوة $3$ .

$1 + 4 \cdot 1^{2} + 7 \cdot 1 - 12$

خطوة 2.2.2.1.3.3

ارفع $1$ إلى القوة $2$ .

$1 + 4 \cdot 1 + 7 \cdot 1 - 12$

خطوة 2.2.2.1.3.4

اضرب $4$ في $1$ .

$1 + 4 + 7 \cdot 1 - 12$

خطوة 2.2.2.1.3.5

أضف $1$ و $4$ .

$5 + 7 \cdot 1 - 12$

خطوة 2.2.2.1.3.6

اضرب $7$ في $1$ .

$5 + 7 - 12$

خطوة 2.2.2.1.3.7

أضف $5$ و $7$ .

$12 - 12$

خطوة 2.2.2.1.3.8

اطرح $12$ من $12$ .

$0$

خطوة 2.2.2.1.4

بما أن $1$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $p - 1$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{p^{3} + 4 p^{2} + 7 p - 12}{p - 1}$

خطوة 2.2.2.1.5

اقسِم $p^{3} + 4 p^{2} + 7 p - 12$ على $p - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$p$

$1$

$p^{3}$

$4 p^{2}$

$7 p$

$12$

خطوة 2.2.2.1.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $p^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $p$ .

					$p^{2}$
	$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$

خطوة 2.2.2.1.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$p^{2}$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			+	$p^{3}$	-	$p^{2}$

خطوة 2.2.2.1.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $p^{3} - p^{2}$

				$p^{2}$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$

خطوة 2.2.2.1.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$p^{2}$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$

خطوة 2.2.2.1.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$p^{2}$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$

خطوة 2.2.2.1.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $5 p^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $p$ .

				$p^{2}$	+	$5 p$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$

خطوة 2.2.2.1.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$p^{2}$	+	$5 p$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					+	$5 p^{2}$	-	$5 p$

خطوة 2.2.2.1.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $5 p^{2} - 5 p$

				$p^{2}$	+	$5 p$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$

خطوة 2.2.2.1.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$p^{2}$	+	$5 p$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$

خطوة 2.2.2.1.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$p^{2}$	+	$5 p$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$	-	$12$

خطوة 2.2.2.1.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $12 p$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $p$ .

				$p^{2}$	+	$5 p$	+	$12$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$	-	$12$

خطوة 2.2.2.1.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$p^{2}$	+	$5 p$	+	$12$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$	-	$12$
							+	$12 p$	-	$12$

خطوة 2.2.2.1.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $12 p - 12$

				$p^{2}$	+	$5 p$	+	$12$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$	-	$12$
							-	$12 p$	+	$12$

خطوة 2.2.2.1.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$p^{2}$	+	$5 p$	+	$12$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$	-	$12$
							-	$12 p$	+	$12$
										$0$

خطوة 2.2.2.1.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$p^{2} + 5 p + 12$

خطوة 2.2.2.1.6

اكتب $p^{3} + 4 p^{2} + 7 p - 12$ في صورة مجموعة من العوامل.

$4 ((p - 1) (p^{2} + 5 p + 12)) = 0$

خطوة 2.2.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$4 (p - 1) (p^{2} + 5 p + 12) = 0$

خطوة 2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$p - 1 = 0$

$p^{2} + 5 p + 12 = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة العبارة $p - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $p$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

عيّن قيمة $p - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$p - 1 = 0$

خطوة 2.4.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$p = 1$

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة $p^{2} + 5 p + 12$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $p$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة $p^{2} + 5 p + 12$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$p^{2} + 5 p + 12 = 0$

خطوة 2.5.2

أوجِد قيمة $p$ في $p^{2} + 5 p + 12 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 2.5.2.2

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = 5$ و $c = 12$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $p$ .

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 12)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.5.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.3.1.1

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.5.2.3.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.3.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.5.2.3.1.2.2

اضرب $- 4$ في $12$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 48}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.5.2.3.1.3

اطرح $48$ من $25$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.5.2.3.1.4

أعِد كتابة $- 23$ بالصيغة $- 1 (23)$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.5.2.3.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (23)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.5.2.3.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.5.2.3.2

اضرب $2$ في $1$ .

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2}$

خطوة 2.5.2.4

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.4.1.1

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.5.2.4.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.4.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.5.2.4.1.2.2

اضرب $- 4$ في $12$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 48}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.5.2.4.1.3

اطرح $48$ من $25$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.5.2.4.1.4

أعِد كتابة $- 23$ بالصيغة $- 1 (23)$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.5.2.4.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (23)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.5.2.4.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.5.2.4.2

اضرب $2$ في $1$ .

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2}$

خطوة 2.5.2.4.3

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$p = \frac{- 5 + i \sqrt{23}}{2}$

خطوة 2.5.2.4.4

أعِد كتابة $- 5$ بالصيغة $- 1 (5)$ .

$p = \frac{- 1 \cdot 5 + i \sqrt{23}}{2}$

خطوة 2.5.2.4.5

أخرِج العامل $- 1$ من $i \sqrt{23}$ .

$p = \frac{- 1 \cdot 5 - (- i \sqrt{23})}{2}$

خطوة 2.5.2.4.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (5) - (- i \sqrt{23})$ .

$p = \frac{- 1 (5 - i \sqrt{23})}{2}$

خطوة 2.5.2.4.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$p = - \frac{5 - i \sqrt{23}}{2}$

خطوة 2.5.2.5

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.5.1.1

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.5.2.5.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.5.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.5.2.5.1.2.2

اضرب $- 4$ في $12$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 48}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.5.2.5.1.3

اطرح $48$ من $25$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.5.2.5.1.4

أعِد كتابة $- 23$ بالصيغة $- 1 (23)$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.5.2.5.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (23)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.5.2.5.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.5.2.5.2

اضرب $2$ في $1$ .

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2}$

خطوة 2.5.2.5.3

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$p = \frac{- 5 - i \sqrt{23}}{2}$

خطوة 2.5.2.5.4

أعِد كتابة $- 5$ بالصيغة $- 1 (5)$ .

$p = \frac{- 1 \cdot 5 - i \sqrt{23}}{2}$

خطوة 2.5.2.5.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- i \sqrt{23}$ .

$p = \frac{- 1 \cdot 5 - (i \sqrt{23})}{2}$

خطوة 2.5.2.5.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (5) - (i \sqrt{23})$ .

$p = \frac{- 1 (5 + i \sqrt{23})}{2}$

خطوة 2.5.2.5.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$p = - \frac{5 + i \sqrt{23}}{2}$

خطوة 2.5.2.6

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$p = - \frac{5 - i \sqrt{23}}{2}, - \frac{5 + i \sqrt{23}}{2}$

خطوة 2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $4 (p - 1) (p^{2} + 5 p + 12) = 0$ صحيحة.

$p = 1, - \frac{5 - i \sqrt{23}}{2}, - \frac{5 + i \sqrt{23}}{2}$

خطوة 2.7

حدد المعامل الرئيسي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

الحد الرئيسي في متعدد الحدود هو الحد ذو الدرجة الأعلى.

$4 p^{3}$

خطوة 2.7.2

المعامل الرئيسي في متعدد الحدود هو معامل الحد الرئيسي.

$4$

خطوة 2.8

بما أنه لا توجد نقاط تقاطع حقيقية مع المحور السيني والمعامل الرئيسي موجب، إذن القطع المكافئ مفتوح إلى أعلى وقيمة $4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48$ أكبر دائمًا من $0$ .

جميع الأعداد الحقيقية

خطوة 3

النطاق هو جميع الأعداد الحقيقية.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${p | p \in ℝ}$

خطوة 4