الرياضيات المتناهية الأمثلة

$f (x) = x^{3} + 5 x^{2} - 35 x - 39$

خطوة 1

أوجِد نقاط التقاطع مع المحور السيني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لإيجاد نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور السيني، عوّض بـ $0$ عن $y$ وأوجِد قيمة $x$ .

$0 = x^{3} + 5 x^{2} - 35 x - 39$

خطوة 1.2

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $x^{3} + 5 x^{2} - 35 x - 39 = 0$ .

$x^{3} + 5 x^{2} - 35 x - 39 = 0$

خطوة 1.2.2

حلّل $x^{3} + 5 x^{2} - 35 x - 39$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 39, \pm 3, \pm 13$

$q = \pm 1$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 39, \pm 3, \pm 13$

خطوة 1.2.2.3

عوّض بـ $- 1$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $- 1$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.3.1

عوّض بـ $- 1$ في متعدد الحدود.

${(- 1)}^{3} + 5 {(- 1)}^{2} - 35 \cdot - 1 - 39$

خطوة 1.2.2.3.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$- 1 + 5 {(- 1)}^{2} - 35 \cdot - 1 - 39$

خطوة 1.2.2.3.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$- 1 + 5 \cdot 1 - 35 \cdot - 1 - 39$

خطوة 1.2.2.3.4

اضرب $5$ في $1$ .

$- 1 + 5 - 35 \cdot - 1 - 39$

خطوة 1.2.2.3.5

أضف $- 1$ و $5$ .

$4 - 35 \cdot - 1 - 39$

خطوة 1.2.2.3.6

اضرب $- 35$ في $- 1$ .

$4 + 35 - 39$

خطوة 1.2.2.3.7

أضف $4$ و $35$ .

$39 - 39$

خطوة 1.2.2.3.8

اطرح $39$ من $39$ .

$0$

خطوة 1.2.2.4

بما أن $- 1$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $x + 1$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 35 x - 39}{x + 1}$

خطوة 1.2.2.5

اقسِم $x^{3} + 5 x^{2} - 35 x - 39$ على $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$35 x$

$39$

خطوة 1.2.2.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$

خطوة 1.2.2.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

خطوة 1.2.2.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

خطوة 1.2.2.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$

خطوة 1.2.2.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$

خطوة 1.2.2.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $4 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$

خطوة 1.2.2.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$

خطوة 1.2.2.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $4 x^{2} + 4 x$

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$

خطوة 1.2.2.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$39 x$

خطوة 1.2.2.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$39 x$	-	$39$

خطوة 1.2.2.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 39 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$	-	$39$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$39 x$	-	$39$

خطوة 1.2.2.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	+	$4 x$	-	$39$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$39 x$	-	$39$
							-	$39 x$	-	$39$

خطوة 1.2.2.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 39 x - 39$

				$x^{2}$	+	$4 x$	-	$39$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$39 x$	-	$39$
							+	$39 x$	+	$39$

خطوة 1.2.2.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	+	$4 x$	-	$39$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$39 x$	-	$39$
							+	$39 x$	+	$39$
										$0$

خطوة 1.2.2.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$x^{2} + 4 x - 39$

خطوة 1.2.2.6

اكتب $x^{3} + 5 x^{2} - 35 x - 39$ في صورة مجموعة من العوامل.

$(x + 1) (x^{2} + 4 x - 39) = 0$

خطوة 1.2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x + 1 = 0$

$x^{2} + 4 x - 39 = 0$

خطوة 1.2.4

عيّن قيمة العبارة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

عيّن قيمة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 1 = 0$

خطوة 1.2.4.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x = - 1$

خطوة 1.2.5

عيّن قيمة العبارة $x^{2} + 4 x - 39$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

عيّن قيمة $x^{2} + 4 x - 39$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} + 4 x - 39 = 0$

خطوة 1.2.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} + 4 x - 39 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 1.2.5.2.2

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = 4$ و $c = - 39$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 39)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.5.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.3.1.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 39}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.5.2.3.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot - 39$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.3.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 39}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.5.2.3.1.2.2

اضرب $- 4$ في $- 39$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 156}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.5.2.3.1.3

أضف $16$ و $156$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{172}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.5.2.3.1.4

أعِد كتابة $172$ بالصيغة $2^{2} \cdot 43$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.3.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $172$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (43)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.5.2.3.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 43}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.5.2.3.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.5.2.3.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2}$

خطوة 1.2.5.2.3.3

بسّط $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{43}$

خطوة 1.2.5.2.4

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.4.1.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 39}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.5.2.4.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot - 39$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.4.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 39}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.5.2.4.1.2.2

اضرب $- 4$ في $- 39$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 156}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.5.2.4.1.3

أضف $16$ و $156$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{172}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.5.2.4.1.4

أعِد كتابة $172$ بالصيغة $2^{2} \cdot 43$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.4.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $172$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (43)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.5.2.4.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 43}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.5.2.4.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.5.2.4.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2}$

خطوة 1.2.5.2.4.3

بسّط $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{43}$

خطوة 1.2.5.2.4.4

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$x = - 2 + \sqrt{43}$

خطوة 1.2.5.2.5

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.5.1.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 39}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.5.2.5.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot - 39$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.5.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 39}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.5.2.5.1.2.2

اضرب $- 4$ في $- 39$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 156}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.5.2.5.1.3

أضف $16$ و $156$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{172}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.5.2.5.1.4

أعِد كتابة $172$ بالصيغة $2^{2} \cdot 43$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.5.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $172$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (43)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.5.2.5.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 43}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.5.2.5.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.5.2.5.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2}$

خطوة 1.2.5.2.5.3

بسّط $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{43}$

خطوة 1.2.5.2.5.4

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$x = - 2 - \sqrt{43}$

خطوة 1.2.5.2.6

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = - 2 + \sqrt{43}, - 2 - \sqrt{43}$

خطوة 1.2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x + 1) (x^{2} + 4 x - 39) = 0$ صحيحة.

$x = - 1, - 2 + \sqrt{43}, - 2 - \sqrt{43}$

خطوة 1.3

نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور السيني بصيغة النقطة.

نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور السيني: $(- 1, 0), (- 2 + \sqrt{43}, 0), (- 2 - \sqrt{43}, 0)$

خطوة 2

أوجِد نقاط التقاطع مع المحور الصادي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لإيجاد نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور الصادي، عوّض بـ $0$ عن $x$ وأوجِد قيمة $y$ .

$y = {(0)}^{3} + 5 {(0)}^{2} - 35 \cdot 0 - 39$

خطوة 2.2

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

احذِف الأقواس.

$y = 0^{3} + 5 {(0)}^{2} - 35 \cdot 0 - 39$

خطوة 2.2.2

احذِف الأقواس.

$y = 0^{3} + 5 \cdot 0^{2} - 35 \cdot 0 - 39$

خطوة 2.2.3

احذِف الأقواس.

$y = {(0)}^{3} + 5 {(0)}^{2} - 35 \cdot 0 - 39$

خطوة 2.2.4

بسّط ${(0)}^{3} + 5 {(0)}^{2} - 35 \cdot 0 - 39$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$y = 0 + 5 {(0)}^{2} - 35 \cdot 0 - 39$

خطوة 2.2.4.1.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$y = 0 + 5 \cdot 0 - 35 \cdot 0 - 39$

خطوة 2.2.4.1.3

اضرب $5$ في $0$ .

$y = 0 + 0 - 35 \cdot 0 - 39$

خطوة 2.2.4.1.4

اضرب $- 35$ في $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 39$

خطوة 2.2.4.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.2.1

أضف $0$ و $0$ .

$y = 0 + 0 - 39$

خطوة 2.2.4.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$y = 0 - 39$

خطوة 2.2.4.2.3

اطرح $39$ من $0$ .

$y = - 39$

خطوة 2.3

نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور الصادي بصيغة النقطة.

نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور الصادي: $(0, - 39)$

خطوة 3

اسرِد التقاطعات.

نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور السيني: $(- 1, 0), (- 2 + \sqrt{43}, 0), (- 2 - \sqrt{43}, 0)$

نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور الصادي: $(0, - 39)$

خطوة 4