الرياضيات المتناهية الأمثلة

$x^{2} + y^{2} + 2 x + 4 y = 11$

خطوة 1

اطرح $11$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} + y^{2} + 2 x + 4 y - 11 = 0$

خطوة 2

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 3

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = 2$ و $c = y^{2} + 4 y - 11$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (y^{2} + 4 y - 11))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (y^{2} + 4 y - 11)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.1.2

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (y^{2} + 4 y - 11)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 y^{2} - 4 (4 y) - 4 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.1

اضرب $4$ في $- 4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 y^{2} - 16 y - 4 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.1.4.2

اضرب $- 4$ في $- 11$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 y^{2} - 16 y + 44}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.1.5

أضف $4$ و $44$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4 y^{2} - 16 y + 48}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.1.6

أعِد كتابة $- 4 y^{2} - 16 y + 48$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4 y^{2} - 16 y + 48$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.1.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4 y^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) - 16 y + 48}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.1.6.1.2

أخرِج العامل $4$ من $- 16 y$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) + 4 (- 4 y) + 48}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.1.6.1.3

أخرِج العامل $4$ من $48$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) + 4 (- 4 y) + 4 (12)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.1.6.1.4

أخرِج العامل $4$ من $4 (- y^{2}) + 4 (- 4 y)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- y^{2} - 4 y) + 4 (12)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.1.6.1.5

أخرِج العامل $4$ من $4 (- y^{2} - 4 y) + 4 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- y^{2} - 4 y + 12)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.1.6.2

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.2.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12$ ومجموعهما $b = - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.2.1.1

أخرِج العامل $- 4$ من $- 4 y$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- y^{2} - 4 y + 12)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.1.6.2.1.2

أعِد كتابة $- 4$ في صورة $2$ زائد $- 6$

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- y^{2} + (2 - 6) y + 12)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.1.6.2.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- y^{2} + 2 y - 6 y + 12)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.1.6.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.2.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 ((- y^{2} + 2 y) - 6 y + 12)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.1.6.2.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (y (- y + 2) + 6 (- y + 2))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.1.6.2.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $- y + 2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 ((- y + 2) (y + 6))}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- y + 2) (y + 6)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.1.7

أعِد كتابة $4 (- y + 2) (y + 6)$ بالصيغة $2^{2} ((- y + 2) (y + 6))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.7.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (- y + 2) (y + 6)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.1.7.2

أضف الأقواس.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} ((- y + 2) (y + 6))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(- y + 2) (y + 6)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(- y + 2) (y + 6)}}{2}$

خطوة 4.3

بسّط $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(- y + 2) (y + 6)}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{(- y + 2) (y + 6)}$

خطوة 5

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = - 1 + \sqrt{(- y + 2) (y + 6)}$

$x = - 1 - \sqrt{(- y + 2) (y + 6)}$