الرياضيات المتناهية الأمثلة

$y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x + 12}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x + 12} = y$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x + 12} = y$

خطوة 2

حلّل كل حد إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{2} - 7 x + 12} = y$

خطوة 2.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2} - 7 x + 12} = y$

خطوة 2.3

حلّل $x^{2} - 7 x + 12$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $12$ ومجموعهما $- 7$ .

$- 4, - 3$

خطوة 2.3.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} = y$

خطوة 3

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$(x - 4) (x - 3), 1$

خطوة 3.2

المضاعف المشترك الأصغر لإحدى العبارات ولأي منها هو العبارة.

$(x - 4) (x - 3)$

خطوة 4

اضرب كل حد في $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} = y$ في $(x - 4) (x - 3)$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب كل حد في $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} = y$ في $(x - 4) (x - 3)$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} ((x - 4) (x - 3)) = y ((x - 4) (x - 3))$

خطوة 4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $(x - 4) (x - 3)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} ((x - 4) (x - 3)) = y ((x - 4) (x - 3))$

خطوة 4.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$(x + 1) (x - 1) = y ((x - 4) (x - 3))$

خطوة 4.2.2

وسّع $(x + 1) (x - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x (x - 1) + 1 (x - 1) = y ((x - 4) (x - 3))$

خطوة 4.2.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) = y ((x - 4) (x - 3))$

خطوة 4.2.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

خطوة 4.2.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

خطوة 4.2.3.1.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

خطوة 4.2.3.1.3

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

خطوة 4.2.3.1.4

اضرب $x$ في $1$ .

$x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

خطوة 4.2.3.1.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$x^{2} - x + x - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

خطوة 4.2.3.2

أضف $- x$ و $x$ .

$x^{2} + 0 - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

خطوة 4.2.3.3

أضف $x^{2}$ و $0$ .

$x^{2} - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

خطوة 4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

وسّع $(x - 4) (x - 3)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} - 1 = y (x (x - 3) - 4 (x - 3))$

خطوة 4.3.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} - 1 = y (x \cdot x + x \cdot - 3 - 4 (x - 3))$

خطوة 4.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} - 1 = y (x \cdot x + x \cdot - 3 - 4 x - 4 \cdot - 3)$

خطوة 4.3.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$x^{2} - 1 = y (x^{2} + x \cdot - 3 - 4 x - 4 \cdot - 3)$

خطوة 4.3.2.1.2

انقُل $- 3$ إلى يسار $x$ .

$x^{2} - 1 = y (x^{2} - 3 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 3)$

خطوة 4.3.2.1.3

اضرب $- 4$ في $- 3$ .

$x^{2} - 1 = y (x^{2} - 3 x - 4 x + 12)$

خطوة 4.3.2.2

اطرح $4 x$ من $- 3 x$ .

$x^{2} - 1 = y (x^{2} - 7 x + 12)$

خطوة 4.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} - 1 = y x^{2} + y (- 7 x) + y \cdot 12$

خطوة 4.3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$x^{2} - 1 = y x^{2} - 7 y x + y \cdot 12$

خطوة 4.3.4.2

انقُل $12$ إلى يسار $y$ .

$x^{2} - 1 = y x^{2} - 7 y x + 12 \cdot y$

$x^{2} - 1 = y x^{2} - 7 y x + 12 y$

خطوة 5

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $x$ موجودة على المتعادل الأيمن، بدّل الأطراف بحيث تصبح على المتعادل الأيسر.

$y x^{2} - 7 y x + 12 y = x^{2} - 1$

خطوة 5.2

اطرح $x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$y x^{2} - 7 y x + 12 y - x^{2} = - 1$

خطوة 5.3

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$y x^{2} - 7 y x + 12 y - x^{2} + 1 = 0$

خطوة 5.4

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 5.5

عوّض بقيم $a = y - 1$ و $b = - 7 y$ و $c = 12 y + 1$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{7 y \pm \sqrt{{(- 7 y)}^{2} - 4 \cdot ((y - 1) \cdot (12 y + 1))}}{2 (y - 1)}$

خطوة 5.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

طبّق قاعدة الضرب على $- 7 y$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} y^{2} - 4 \cdot (y - 1) \cdot (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

خطوة 5.6.2

ارفع $- 7$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 \cdot (y - 1) \cdot (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

خطوة 5.6.3

طبّق خاصية التوزيع.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} + (- 4 y - 4 \cdot - 1) \cdot (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

خطوة 5.6.4

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} + (- 4 y + 4) \cdot (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

خطوة 5.6.5

وسّع $(- 4 y + 4) (12 y + 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 y (12 y + 1) + 4 (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

خطوة 5.6.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 y (12 y) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

خطوة 5.6.5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 y (12 y) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

خطوة 5.6.6

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.6.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 \cdot (12 y \cdot y) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

خطوة 5.6.6.1.2

اضرب $y$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.6.1.2.1

انقُل $y$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 \cdot (12 (y \cdot y)) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

خطوة 5.6.6.1.2.2

اضرب $y$ في $y$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 \cdot (12 y^{2}) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

خطوة 5.6.6.1.3

اضرب $- 4$ في $12$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

خطوة 5.6.6.1.4

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} - 4 y + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

خطوة 5.6.6.1.5

اضرب $12$ في $4$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} - 4 y + 48 y + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

خطوة 5.6.6.1.6

اضرب $4$ في $1$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} - 4 y + 48 y + 4}}{2 (y - 1)}$

خطوة 5.6.6.2

أضف $- 4 y$ و $48 y$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

خطوة 5.6.7

اطرح $48 y^{2}$ من $49 y^{2}$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

خطوة 5.7

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = \frac{7 y + \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

$x = \frac{7 y - \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

$x = \frac{7 y + \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

$x = \frac{7 y - \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$