الرياضيات المتناهية الأمثلة

$\ln (2 x + 1) = 2 - \ln (x)$

خطوة 1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (2 x + 1) + \ln (x) = 2$

خطوة 2

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((2 x + 1) x) = 2$

خطوة 3

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (2 x \cdot x + 1 x) = 2$

خطوة 4

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل $x$ .

$\ln (2 (x \cdot x) + 1 x) = 2$

خطوة 4.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\ln (2 x^{2} + 1 x) = 2$

خطوة 5

اضرب $x$ في $1$ .

$\ln (2 x^{2} + x) = 2$

خطوة 6

لإيجاد قيمة $x$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (2 x^{2} + x)} = e^{2}$

خطوة 7

أعِد كتابة $\ln (2 x^{2} + x) = 2$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{2} = 2 x^{2} + x$

خطوة 8

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $2 x^{2} + x = e^{2}$ .

$2 x^{2} + x = e^{2}$

خطوة 8.2

اطرح $e^{2}$ من كلا المتعادلين.

$2 x^{2} + x - e^{2} = 0$

خطوة 8.3

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 8.4

عوّض بقيم $a = 2$ و $b = 1$ و $c = - e^{2}$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (- e^{2}))}}{2 \cdot 2}$

خطوة 8.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot (- 1 e^{2})}}{2 \cdot 2}$

خطوة 8.5.1.2

اضرب $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1.2.1

اضرب $- 4$ في $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot (- 1 e^{2})}}{2 \cdot 2}$

خطوة 8.5.1.2.2

اضرب $- 8$ في $- 1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8 e^{2}}}{2 \cdot 2}$

خطوة 8.5.2

اضرب $2$ في $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8 e^{2}}}{4}$

خطوة 8.6

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = - \frac{1 - \sqrt{1 + 8 e^{2}}}{4}, - \frac{1 + \sqrt{1 + 8 e^{2}}}{4}$

خطوة 9

استبعِد الحلول التي لا تجعل $\ln (2 x + 1) = 2 - \ln (x)$ صحيحة.

$x = - \frac{1 - \sqrt{1 + 8 e^{2}}}{4}$

خطوة 10

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$x = - \frac{1 - \sqrt{1 + 8 e^{2}}}{4}$

الصيغة العشرية:

$x = 1.68830545 \dots$