الرياضيات المتناهية الأمثلة

$x^{3} + 10 x^{2} - 13 x - 22$

خطوة 1

حلّل $x^{3} + 10 x^{2} - 13 x - 22$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 22, \pm 2, \pm 11$

$q = \pm 1$

خطوة 1.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 22, \pm 2, \pm 11$

خطوة 1.3

عوّض بـ $- 1$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $- 1$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بـ $- 1$ في متعدد الحدود.

${(- 1)}^{3} + 10 {(- 1)}^{2} - 13 \cdot - 1 - 22$

خطوة 1.3.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$- 1 + 10 {(- 1)}^{2} - 13 \cdot - 1 - 22$

خطوة 1.3.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$- 1 + 10 \cdot 1 - 13 \cdot - 1 - 22$

خطوة 1.3.4

اضرب $10$ في $1$ .

$- 1 + 10 - 13 \cdot - 1 - 22$

خطوة 1.3.5

أضف $- 1$ و $10$ .

$9 - 13 \cdot - 1 - 22$

خطوة 1.3.6

اضرب $- 13$ في $- 1$ .

$9 + 13 - 22$

خطوة 1.3.7

أضف $9$ و $13$ .

$22 - 22$

خطوة 1.3.8

اطرح $22$ من $22$ .

$0$

خطوة 1.4

بما أن $- 1$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $x + 1$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{x^{3} + 10 x^{2} - 13 x - 22}{x + 1}$

خطوة 1.5

اقسِم $x^{3} + 10 x^{2} - 13 x - 22$ على $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$13 x$

$22$

خطوة 1.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$13 x$	-	$22$

خطوة 1.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$13 x$	-	$22$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

خطوة 1.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$13 x$	-	$22$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

خطوة 1.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$13 x$	-	$22$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$

خطوة 1.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$13 x$	-	$22$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$13 x$

خطوة 1.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $9 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$13 x$	-	$22$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$13 x$

خطوة 1.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$13 x$	-	$22$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$13 x$
					+	$9 x^{2}$	+	$9 x$

خطوة 1.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $9 x^{2} + 9 x$

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$13 x$	-	$22$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$13 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$9 x$

خطوة 1.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$13 x$	-	$22$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$13 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$22 x$

خطوة 1.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$13 x$	-	$22$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$13 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$22 x$	-	$22$

خطوة 1.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 22 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x^{2}$	+	$9 x$	-	$22$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$13 x$	-	$22$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$13 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$22 x$	-	$22$

خطوة 1.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	+	$9 x$	-	$22$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$13 x$	-	$22$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$13 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$22 x$	-	$22$
							-	$22 x$	-	$22$

خطوة 1.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 22 x - 22$

				$x^{2}$	+	$9 x$	-	$22$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$13 x$	-	$22$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$13 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$22 x$	-	$22$
							+	$22 x$	+	$22$

خطوة 1.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	+	$9 x$	-	$22$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$13 x$	-	$22$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$13 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$22 x$	-	$22$
							+	$22 x$	+	$22$
										$0$

خطوة 1.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$x^{2} + 9 x - 22$

خطوة 1.6

اكتب $x^{3} + 10 x^{2} - 13 x - 22$ في صورة مجموعة من العوامل.

$(x + 1) (x^{2} + 9 x - 22)$

خطوة 2

حلّل $x^{2} + 9 x - 22$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

حلّل $x^{2} + 9 x - 22$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 22$ ومجموعهما $9$ .

$- 2, 11$

خطوة 2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(x + 1) ((x - 2) (x + 11))$

خطوة 2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$(x + 1) (x - 2) (x + 11)$