الرياضيات المتناهية الأمثلة

$3 x^{4} - 37 x^{3} + 111 x^{2} - 45 x + 4$

خطوة 1

حلّل $3 x^{4} - 37 x^{3} + 111 x^{2} - 45 x + 4$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 3$

خطوة 1.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 4, \pm 1.\overline{3}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}$

خطوة 1.3

عوّض بـ $0.\overline{3}$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $0.\overline{3}$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بـ $0.\overline{3}$ في متعدد الحدود.

$3 \cdot {0.\overline{3}}^{4} - 37 \cdot {0.\overline{3}}^{3} + 111 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 45 \cdot 0.\overline{3} + 4$

خطوة 1.3.2

ارفع $0.\overline{3}$ إلى القوة $4$ .

$3 \cdot 0.01234567 - 37 \cdot {0.\overline{3}}^{3} + 111 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 45 \cdot 0.\overline{3} + 4$

خطوة 1.3.3

اضرب $3$ في $0.01234567$ .

$0.\overline{037} - 37 \cdot {0.\overline{3}}^{3} + 111 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 45 \cdot 0.\overline{3} + 4$

خطوة 1.3.4

ارفع $0.\overline{3}$ إلى القوة $3$ .

$0.\overline{037} - 37 \cdot 0.\overline{037} + 111 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 45 \cdot 0.\overline{3} + 4$

خطوة 1.3.5

اضرب $- 37$ في $0.\overline{037}$ .

$0.\overline{037} - 1.37037037 + 111 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 45 \cdot 0.\overline{3} + 4$

خطوة 1.3.6

اطرح $1.37037037$ من $0.\overline{037}$ .

$- 1.33333333 + 111 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 45 \cdot 0.\overline{3} + 4$

خطوة 1.3.7

ارفع $0.\overline{3}$ إلى القوة $2$ .

$- 1.33333333 + 111 \cdot 0.\overline{1} - 45 \cdot 0.\overline{3} + 4$

خطوة 1.3.8

اضرب $111$ في $0.\overline{1}$ .

$- 1.33333333 + 12.33333333 - 45 \cdot 0.\overline{3} + 4$

خطوة 1.3.9

أضف $- 1.33333333$ و $12.33333333$ .

$11 - 45 \cdot 0.\overline{3} + 4$

خطوة 1.3.10

اضرب $- 45$ في $0.\overline{3}$ .

$11 - 15 + 4$

خطوة 1.3.11

اطرح $15$ من $11$ .

$- 4 + 4$

خطوة 1.3.12

أضف $- 4$ و $4$ .

$0$

خطوة 1.4

بما أن $0.\overline{3}$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $3 x - 1$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{3 x^{4} - 37 x^{3} + 111 x^{2} - 45 x + 4}{3 x - 1}$

خطوة 1.5

اقسِم $3 x^{4} - 37 x^{3} + 111 x^{2} - 45 x + 4$ على $3 x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

خطوة 1.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $3 x^{4}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $3 x$ .

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

خطوة 1.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

خطوة 1.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $3 x^{4} - x^{3}$

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

خطوة 1.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

خطوة 1.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

خطوة 1.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 36 x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $3 x$ .

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

خطوة 1.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

خطوة 1.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 36 x^{3} + 12 x^{2}$

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

خطوة 1.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

$99 x^{2}$

خطوة 1.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

$99 x^{2}$

$45 x$

خطوة 1.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $99 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $3 x$ .

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$33 x$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

$99 x^{2}$

$45 x$

خطوة 1.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$33 x$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

$99 x^{2}$

$45 x$

$99 x^{2}$

$33 x$

خطوة 1.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $99 x^{2} - 33 x$

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$33 x$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

$99 x^{2}$

$45 x$

$99 x^{2}$

$33 x$

خطوة 1.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$33 x$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

$99 x^{2}$

$45 x$

$99 x^{2}$

$33 x$

$12 x$

خطوة 1.5.16

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$33 x$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

$99 x^{2}$

$45 x$

$99 x^{2}$

$33 x$

$12 x$

$4$

خطوة 1.5.17

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 12 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $3 x$ .

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$33 x$

$4$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

$99 x^{2}$

$45 x$

$99 x^{2}$

$33 x$

$12 x$

$4$

خطوة 1.5.18

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$33 x$

$4$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

$99 x^{2}$

$45 x$

$99 x^{2}$

$33 x$

$12 x$

$4$

$12 x$

$4$

خطوة 1.5.19

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 12 x + 4$

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$33 x$

$4$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

$99 x^{2}$

$45 x$

$99 x^{2}$

$33 x$

$12 x$

$4$

$12 x$

$4$

خطوة 1.5.20

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$33 x$

$4$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

$99 x^{2}$

$45 x$

$99 x^{2}$

$33 x$

$12 x$

$4$

$12 x$

$4$

$0$

خطوة 1.5.21

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$x^{3} - 12 x^{2} + 33 x - 4$

خطوة 1.6

اكتب $3 x^{4} - 37 x^{3} + 111 x^{2} - 45 x + 4$ في صورة مجموعة من العوامل.

$(3 x - 1) (x^{3} - 12 x^{2} + 33 x - 4)$

خطوة 2

حلّل $x^{3} - 12 x^{2} + 33 x - 4$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

حلّل $x^{3} - 12 x^{2} + 33 x - 4$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

خطوة 2.1.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

خطوة 2.1.3

عوّض بـ $4$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $4$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

عوّض بـ $4$ في متعدد الحدود.

$4^{3} - 12 \cdot 4^{2} + 33 \cdot 4 - 4$

خطوة 2.1.3.2

ارفع $4$ إلى القوة $3$ .

$64 - 12 \cdot 4^{2} + 33 \cdot 4 - 4$

خطوة 2.1.3.3

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$64 - 12 \cdot 16 + 33 \cdot 4 - 4$

خطوة 2.1.3.4

اضرب $- 12$ في $16$ .

$64 - 192 + 33 \cdot 4 - 4$

خطوة 2.1.3.5

اطرح $192$ من $64$ .

$- 128 + 33 \cdot 4 - 4$

خطوة 2.1.3.6

اضرب $33$ في $4$ .

$- 128 + 132 - 4$

خطوة 2.1.3.7

أضف $- 128$ و $132$ .

$4 - 4$

خطوة 2.1.3.8

اطرح $4$ من $4$ .

$0$

خطوة 2.1.4

بما أن $4$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $x - 4$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{x^{3} - 12 x^{2} + 33 x - 4}{x - 4}$

خطوة 2.1.5

اقسِم $x^{3} - 12 x^{2} + 33 x - 4$ على $x - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$4$

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$33 x$

$4$

خطوة 2.1.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$

خطوة 2.1.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

خطوة 2.1.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{3} - 4 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

خطوة 2.1.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

خطوة 2.1.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$33 x$

خطوة 2.1.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 8 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$33 x$

خطوة 2.1.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$33 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$32 x$

خطوة 2.1.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 8 x^{2} + 32 x$

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$

خطوة 2.1.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$x$

خطوة 2.1.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$x$	-	$4$

خطوة 2.1.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$1$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$x$	-	$4$

خطوة 2.1.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$1$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$x$	-	$4$
							+	$x$	-	$4$

خطوة 2.1.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x - 4$

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$1$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$x$	-	$4$
							-	$x$	+	$4$

خطوة 2.1.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$1$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$x$	-	$4$
							-	$x$	+	$4$
										$0$

خطوة 2.1.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$x^{2} - 8 x + 1$

خطوة 2.1.6

اكتب $x^{3} - 12 x^{2} + 33 x - 4$ في صورة مجموعة من العوامل.

$(3 x - 1) ((x - 4) (x^{2} - 8 x + 1))$

خطوة 2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$(3 x - 1) (x - 4) (x^{2} - 8 x + 1)$