الرياضيات المتناهية الأمثلة

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 15 x - 6$

خطوة 1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

خطوة 2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 6, \pm 3, \pm 2, \pm 1.5$

خطوة 3

عوّض بـ $- 0.5$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $- 0.5$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $- 0.5$ في متعدد الحدود.

$2 {(- 0.5)}^{3} - 5 {(- 0.5)}^{2} - 15 \cdot - 0.5 - 6$

خطوة 3.2

ارفع $- 0.5$ إلى القوة $3$ .

$2 \cdot - 0.125 - 5 {(- 0.5)}^{2} - 15 \cdot - 0.5 - 6$

خطوة 3.3

اضرب $2$ في $- 0.125$ .

$- 0.25 - 5 {(- 0.5)}^{2} - 15 \cdot - 0.5 - 6$

خطوة 3.4

ارفع $- 0.5$ إلى القوة $2$ .

$- 0.25 - 5 \cdot 0.25 - 15 \cdot - 0.5 - 6$

خطوة 3.5

اضرب $- 5$ في $0.25$ .

$- 0.25 - 1.25 - 15 \cdot - 0.5 - 6$

خطوة 3.6

اطرح $1.25$ من $- 0.25$ .

$- 1.5 - 15 \cdot - 0.5 - 6$

خطوة 3.7

اضرب $- 15$ في $- 0.5$ .

$- 1.5 + 7.5 - 6$

خطوة 3.8

أضف $- 1.5$ و $7.5$ .

$6 - 6$

خطوة 3.9

اطرح $6$ من $6$ .

$0$

خطوة 4

بما أن $- 0.5$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $2 x + 1$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{2 x^{3} - 5 x^{2} - 15 x - 6}{2 x + 1}$

خطوة 5

اقسِم $2 x^{3} - 5 x^{2} - 15 x - 6$ على $2 x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$15 x$

$6$

خطوة 5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $2 x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$

خطوة 5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

خطوة 5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $2 x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

خطوة 5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

خطوة 5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$

خطوة 5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 6 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$

خطوة 5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$3 x$

خطوة 5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 6 x^{2} - 3 x$

				$x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$

خطوة 5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$

خطوة 5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$	-	$6$

خطوة 5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 12 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$	-	$6$

خطوة 5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$	-	$6$
							-	$12 x$	-	$6$

خطوة 5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 12 x - 6$

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$	-	$6$
							+	$12 x$	+	$6$

خطوة 5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$	-	$6$
							+	$12 x$	+	$6$
										$0$

خطوة 5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$x^{2} - 3 x - 6$

خطوة 6

اكتب $2 x^{3} - 5 x^{2} - 15 x - 6$ في صورة مجموعة من العوامل.

$(2 x + 1) (x^{2} - 3 x - 6)$