الرياضيات المتناهية الأمثلة

$p = \frac{12 z + 30}{2 z} \div \frac{16 z + 40}{4 z}$

خطوة 1

أوجِد الموضع الذي تكون فيه العبارة $\frac{12 x + 30}{2 x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$ غير معرّفة.

$x = - \frac{5}{2}, x = 0$

خطوة 2

تظهر خطوط التقارب الرأسية في مناطق عدم الاتصال اللانهائي.

لا توجد خطوط تقارب رأسية

خطوة 3

احسِب قيمة $lim_{x \to \infty} \frac{12 x + 30}{2 x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$ لإيجاد خط التقارب الأفقي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اختزِل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $12 x + 30$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $12 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (6 x) + 30}{2 x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$

خطوة 3.1.1.2

أخرِج العامل $2$ من $30$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (6 x) + 2 \cdot 15}{2 x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$

خطوة 3.1.1.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (6 x) + 2 (15)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (6 x + 15)}{2 x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$

خطوة 3.1.1.4

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (6 x + 15)}{2 (x)} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$

خطوة 3.1.1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (6 x + 15)}{2 x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$

خطوة 3.1.1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$

خطوة 3.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $16 x + 40$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

أخرِج العامل $4$ من $16 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{4 (4 x) + 40}{4 x}$

خطوة 3.1.2.2

أخرِج العامل $4$ من $40$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{4 (4 x) + 4 \cdot 10}{4 x}$

خطوة 3.1.2.3

أخرِج العامل $4$ من $4 (4 x) + 4 (10)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{4 (4 x + 10)}{4 x}$

خطوة 3.1.2.4

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.4.1

أخرِج العامل $4$ من $4 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{4 (4 x + 10)}{4 (x)}$

خطوة 3.1.2.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{4 (4 x + 10)}{4 x}$

خطوة 3.1.2.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{4 x + 10}{x}$

خطوة 3.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

خطوة 3.3

اقسِم بسط الكسر والقاسم على أعلى قوة لـ $x$ في القاسم، وهي $x$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x}{x} + \frac{15}{x}}{\frac{x}{x}}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

خطوة 3.4

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x}{x} + \frac{15}{x}}{\frac{x}{x}}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

خطوة 3.4.1.2

اقسِم $6$ على $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{15}{x}}{\frac{x}{x}}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

خطوة 3.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{15}{x}}{\frac{x}{x}}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

خطوة 3.4.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{15}{x}}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

خطوة 3.4.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to \infty} 6 + \frac{15}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

خطوة 3.4.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to \infty} 6 + lim_{x \to \infty} \frac{15}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

خطوة 3.4.5

احسِب قيمة حد $6$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$\frac{\frac{6 + lim_{x \to \infty} \frac{15}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

خطوة 3.4.6

انقُل الحد $15$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\frac{6 + 15 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

خطوة 3.5

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x}$ يقترب من $0$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

خطوة 3.6

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

خطوة 3.7

اقسِم بسط الكسر والقاسم على أعلى قوة لـ $x$ في القاسم، وهي $x$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x}{x} + \frac{10}{x}}{\frac{x}{x}}}$

خطوة 3.8

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x}{x} + \frac{10}{x}}{\frac{x}{x}}}$

خطوة 3.8.1.2

اقسِم $4$ على $1$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{10}{x}}{\frac{x}{x}}}$

خطوة 3.8.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{10}{x}}{\frac{x}{x}}}$

خطوة 3.8.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{10}{x}}{1}}$

خطوة 3.8.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{\frac{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{10}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

خطوة 3.8.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{\frac{lim_{x \to \infty} 4 + lim_{x \to \infty} \frac{10}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

خطوة 3.8.5

احسِب قيمة حد $4$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{\frac{4 + lim_{x \to \infty} \frac{10}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

خطوة 3.8.6

انقُل الحد $10$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{\frac{4 + 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

خطوة 3.9

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x}$ يقترب من $0$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{\frac{4 + 10 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}}$

خطوة 3.10

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.1

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{\frac{4 + 10 \cdot 0}{1}}$

خطوة 3.10.2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.1

اقسِم $6 + 15 \cdot 0$ على $1$ .

$\frac{6 + 15 \cdot 0}{\frac{4 + 10 \cdot 0}{1}}$

خطوة 3.10.2.2

اقسِم $4 + 10 \cdot 0$ على $1$ .

$\frac{6 + 15 \cdot 0}{4 + 10 \cdot 0}$

خطوة 3.10.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $6 + 15 \cdot 0$ و $4 + 10 \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.3.1

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{6 + 0 \cdot 15}{4 + 10 \cdot 0}$

خطوة 3.10.2.3.2

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{2 (3) + 0 \cdot 15}{4 + 10 \cdot 0}$

خطوة 3.10.2.3.3

أخرِج العامل $2$ من $0 \cdot 15$ .

$\frac{2 (3) + 2 (0 \cdot 15)}{4 + 10 \cdot 0}$

خطوة 3.10.2.3.4

أخرِج العامل $2$ من $2 (3) + 2 (0 \cdot 15)$ .

$\frac{2 (3 + 0 \cdot 15)}{4 + 10 \cdot 0}$

خطوة 3.10.2.3.5

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.3.5.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{2 (3 + 0 \cdot 15)}{2 \cdot 2 + 10 \cdot 0}$

خطوة 3.10.2.3.5.2

أخرِج العامل $2$ من $10 \cdot 0$ .

$\frac{2 (3 + 0 \cdot 15)}{2 \cdot 2 + 2 (5 \cdot 0)}$

خطوة 3.10.2.3.5.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (2) + 2 (5 \cdot 0)$ .

$\frac{2 (3 + 0 \cdot 15)}{2 (2 + 5 \cdot 0)}$

خطوة 3.10.2.3.5.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (3 + 0 \cdot 15)}{2 (2 + 5 \cdot 0)}$

خطوة 3.10.2.3.5.5

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3 + 0 \cdot 15}{2 + 5 \cdot 0}$

خطوة 3.10.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.4.1

اضرب $0$ في $15$ .

$\frac{3 + 0}{2 + 5 \cdot 0}$

خطوة 3.10.2.4.2

أضف $3$ و $0$ .

$\frac{3}{2 + 5 \cdot 0}$

خطوة 3.10.2.5

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.5.1

اضرب $5$ في $0$ .

$\frac{3}{2 + 0}$

خطوة 3.10.2.5.2

أضف $2$ و $0$ .

$\frac{3}{2}$

خطوة 4

اسرِد خطوط التقارب الأفقية:

$y = \frac{3}{2}$

خطوة 5

لا يوجد خط تقارب مائل لأن درجة بسْط الكسر أصغر من أو تساوي درجة القاسم.

لا توجد خطوط تقارب مائلة

خطوة 6

هذه هي مجموعة جميع خطوط التقارب.

لا توجد خطوط تقارب رأسية

خطوط التقارب الأفقية: $y = \frac{3}{2}$

لا توجد خطوط تقارب مائلة

خطوة 7