الرياضيات المتناهية الأمثلة

$f (x) = \frac{x^{4} + 1}{x^{2} + 5 x - 14}$

خطوة 1

أوجِد الموضع الذي تكون فيه العبارة $\frac{x^{4} + 1}{x^{2} + 5 x - 14}$ غير معرّفة.

$x = - 7, x = 2$

خطوة 2

بما أن $\frac{x^{4} + 1}{x^{2} + 5 x - 14}$ $\to$ $\infty$ عندما $x$ $\to$ $- 7$ من جهة اليسار و $\frac{x^{4} + 1}{x^{2} + 5 x - 14}$ $\to$ $- \infty$ عندما $x$ $\to$ $- 7$ من جهة اليمين، إذن $x = - 7$ خط تقارب رأسي.

$x = - 7$

خطوة 3

بما أن $\frac{x^{4} + 1}{x^{2} + 5 x - 14}$ $\to$ $- \infty$ عندما $x$ $\to$ $2$ من جهة اليسار و $\frac{x^{4} + 1}{x^{2} + 5 x - 14}$ $\to$ $\infty$ عندما $x$ $\to$ $2$ من جهة اليمين، إذن $x = 2$ خط تقارب رأسي.

$x = 2$

خطوة 4

اسرِد جميع خطوط التقارب الرأسية:

$x = - 7, 2$

خطوة 5

ضع في اعتبارك الدالة الكسرية $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ حيث $n$ هي درجة البسط و $m$ هي درجة القاسم.

1. إذا كانت $n < m$ ، فإن المحور السيني، $y = 0$ ، هو خط التقارب الأفقي.

2. في حالة $n = m$ ، فإن خط التقارب الأفقي هو الخط $y = \frac{a}{b}$ .

3. في حالة $n > m$ ، لا يوجد خط تقارب أفقي (يوجد خط تقارب مائل).

خطوة 6

أوجِد $n$ و $m$ .

$n = 4$

$m = 2$

خطوة 7

بما أن $n > m$ ، إذن لا يوجد خط تقارب أفقي.

لا توجد خطوط تقارب أفقية

خطوة 8

أوجِد خط التقارب المائل باستخدام قسمة متعددات الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

حلّل $x^{2} + 5 x - 14$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 14$ ومجموعهما $5$ .

$- 2, 7$

خطوة 8.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$\frac{x^{4} + 1}{(x - 2) (x + 7)}$

خطوة 8.2

وسّع $(x - 2) (x + 7)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{4} + 1}{x (x + 7) - 2 (x + 7)}$

خطوة 8.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{4} + 1}{x \cdot x + x \cdot 7 - 2 (x + 7)}$

خطوة 8.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{4} + 1}{x \cdot x + x \cdot 7 - 2 x - 2 \cdot 7}$

خطوة 8.2.4

أعِد ترتيب $x$ و $7$ .

$\frac{x^{4} + 1}{x \cdot x + 7 x - 2 x - 2 \cdot 7}$

خطوة 8.2.5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{4} + 1}{x \cdot x + 7 x - 2 x - 2 \cdot 7}$

خطوة 8.2.6

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{4} + 1}{x \cdot x + 7 x - 2 x - 2 \cdot 7}$

خطوة 8.2.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x^{4} + 1}{x^{1 + 1} + 7 x - 2 x - 2 \cdot 7}$

خطوة 8.2.8

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{x^{4} + 1}{x^{2} + 7 x - 2 x - 2 \cdot 7}$

خطوة 8.2.9

اضرب $- 2$ في $7$ .

$\frac{x^{4} + 1}{x^{2} + 7 x - 2 x - 14}$

خطوة 8.2.10

اطرح $2 x$ من $7 x$ .

$\frac{x^{4} + 1}{x^{2} + 5 x - 14}$

خطوة 8.3

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

خطوة 8.4

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{4}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x^{2}$ .

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

خطوة 8.5

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

خطوة 8.6

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{4} + 5 x^{3} - 14 x^{2}$

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

خطوة 8.7

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

خطوة 8.8

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$0 x$

خطوة 8.9

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 5 x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x^{2}$ .

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$0 x$

خطوة 8.10

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$0 x$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$70 x$

خطوة 8.11

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 5 x^{3} - 25 x^{2} + 70 x$

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$0 x$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$70 x$

خطوة 8.12

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$0 x$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$70 x$

$39 x^{2}$

$70 x$

خطوة 8.13

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$0 x$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$70 x$

$39 x^{2}$

$70 x$

$1$

خطوة 8.14

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $39 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x^{2}$ .

$x^{2}$

$5 x$

$39$

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$0 x$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$70 x$

$39 x^{2}$

$70 x$

$1$

خطوة 8.15

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

$x^{2}$

$5 x$

$39$

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$0 x$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$70 x$

$39 x^{2}$

$70 x$

$1$

$39 x^{2}$

$195 x$

$546$

خطوة 8.16

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $39 x^{2} + 195 x - 546$

$x^{2}$

$5 x$

$39$

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$0 x$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$70 x$

$39 x^{2}$

$70 x$

$1$

$39 x^{2}$

$195 x$

$546$

خطوة 8.17

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$x^{2}$

$5 x$

$39$

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$0 x$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$70 x$

$39 x^{2}$

$70 x$

$1$

$39 x^{2}$

$195 x$

$546$

$265 x$

$547$

خطوة 8.18

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$x^{2} - 5 x + 39 + \frac{- 265 x + 547}{x^{2} + 5 x - 14}$

خطوة 8.19

خط التقارب المائل هو جزء متعدد الحدود من ناتج القسمة المطولة.

$y = x^{2} - 5 x + 39$

خطوة 9

هذه هي مجموعة جميع خطوط التقارب.

خطوط التقارب الرأسية: $x = - 7, 2$

لا توجد خطوط تقارب أفقية

خطوط التقارب المائلة: $y = x^{2} - 5 x + 39$

خطوة 10